Question

f(1/(3))^(3) -xarctanxdx.

Answer 1

问：f(1/(3))^(3) -xarctanxdx.

问：嘿嘿

答：亲亲您好，很高兴为您解答。这是一个数学表达式，包含了函数和积分。f(x) = 1/(3)^(3) 是一个函数，其中 x 的值是 1/3 的三次方。-xarctan(x) 是一个积分表达式，其中 arctan(x) 表示反正切函数，x 表示积分变量。整个表达式可以看作是 f(x) 的值减去 -xarctan(x) 的积分。

问：？

答：亲亲，请将您的问题用文字表达哦！

问：∫_(1/(√3))^(√3) -xarctanxdx.

答：亲亲，对于∫_(1/(√3))^(√3) -xarctanxdx这个积分，我们可以使用代换法进行求解。首先，我们进行一个代换。令u = x^(√3)，则du/dx = √3x^(√3 - 1)dx。我们可以将这个方程重排，得到dx = du/(√3x^(√3 - 1))。接下来，我们将u和du代入原始积分，并相应地调整积分的上下限。当x = (1/√3)时，u = (1/√3)^(√3) [使用u = x^(√3)]当x = √3时，u = (√3)^(√3) [使用u = x^(√3)]因此，u的新的积分上下限变为从(1/√3)^(√3)到(√3)^(√3)。

答：将u和du代入原始积分，我们得到：∫_(1/√3)^(√3) -xarctanxdx = ∫_(1/√3)^(√3) -u * arctan(u^(1/√3)) * du/(√3x^(√3 - 1))现在，我们可以通过约简分数中的√3，重新排列项来简化被积函数：= -1/(√3) ∫_(1/√3)^(√3) arctan(u^(1/√3))/u^(√3 - 1) du接下来，我们可以使用分部积分法，其中令u = arctan(u^(1/√3))，dv = 1/u^(√3 - 1) du。对u和dv求导，并对dv积分，我们得到：du = (1/(1 + u^(2/3))) * (1/3u^(1/3)) duv = (3/(2 - 3/√3)) * u^(2/3)现在我们可以应用分部积分公式：∫_(1/√3)^(√3) arctan(u^(1/√3))/u^(√3 - 1) du = -1/(√3) * (arctan(u^(1/√3)) * (3/(2 - 3/√3)) * u^(2/3) - ∫_(1/√3)^(√3) (1/(1 + u^(2/3))

答：现在，我们可以对剩下的积分∫_(1/√3)^(√3) (1/3(u^(2/3) + 1)) du 进行简化。∫_(1/√3)^(√3) (1/3(u^(2/3) + 1)) du = (1/3) ∫_(1/√3)^(√3) (u^(2/3) + 1)^(-1) du我们可以使用代换法来求解这个积分。令v = u^(2/3) + 1，那么dv = (2/3)u^(-1/3) du。将v和dv代入积分，我们得到：(1/3) ∫_(1/√3)^(√3) (u^(2/3) + 1)^(-1) du = (1/3) ∫_(1/√3)^(√3) v^(-1) dv现在，我们可以直接对v^(-1)进行积分：(1/3) ∫_(1/√3)^(√3) v^(-1) dv = (1/3) ln|v| + C其中，C为常数。现在，我们将v的值代回原来的变量u，得到最终的结果：(1/3) ln|u^(2/3) + 1| + C

答：将之前的代换u = x^(√3)代回，我们得到：(1/3) ln|x^(2/√3) + 1| + C这就是原始积分∫_(1/(√3))^(√3) -xarctanxdx的最终结果，其中C为常数。[比心][比心][比心][比心][比心][比心]