Question

三角形ABC其中角c=90度 Ab=5厘米AC=3厘米BC=4厘米以ab所在的直线为轴进行旋转

Answer 1

问：三角形ABC其中角c=90度 Ab=5厘米AC=3厘米BC=4厘米以ab所在的直线为轴进行旋转

问：三角形ABC其中角c=90度 Ab=5厘米AC=3厘米BC=4厘米以ab所在的直线为轴进行旋转 求所得图形的体积

答：以 ABAB 为底边，CC 为顶点的直角三角形 ABCABC 的斜边长为 \sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34} 5 2 +3 2 ​ = 34​ 厘米。由此可知，\triangle ABC△ABC 是一组 5:3:\sqrt{34}5:3: 34​ 的三边比例。以 ABAB 所在的直线为轴进行旋转，可以得到一个旋转体。如果假设旋转后的体积为 VV，则根据圆锥体积公式可得：V = \frac{1}{3}\pi r^2hV= 31​ πr 2 h其中，rr 表示旋转后形成的圆的半径，hh 表示圆锥的高度。由于旋转的轴位于 ABAB 上，因此旋转后的几何体仍然具有 5:3:\sqrt{34}5:3: 34​ 的三边比例。我们可以利用类比的方法来计算其体积。将 \triangle ABC△ABC 沿着 ABAB 分成两个三角形，分别称为 \triangle ABD△ABD 和 \triangle BCD△BCD，则有：\frac{AD}{AB} = \frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{BD}{AB} = \frac{5}{\sqrt{34}} ABAD​ = 34​ 3​ , ABBD​ = 34​ 5​ 对于 \triangle ABD△ABD，它的面积为 \frac{1}{2} \times AD \times BD = \frac{15}{34} AB^2 21​ ×AD×BD= 3415​ AB 2 。将 \triangle ABD△ABD 沿着 BDBD 分成一个高为 ADAD，底边为 BDBD 的三角形和一个高为 BDBD，底边为 ADAD 的梯形。其中，三角形的面积为 \frac{1}{2} \times AD \times BD \times \frac{BD}{AB} = \frac{75}{34} AB^2 21​ ×AD×BD× ABBD​ = 3475​ AB 2 ；梯形的面积为 \frac{1}{2} (BD+AD) \times BD \times \frac{AD}{AB} = \frac{15}{34} AB^2 21​ (BD+AD)×