∫(x-sinxcosx)/(x^2cos^2x+sin^2x)dx
1个回答
关注
![]()
展开全部
这个积分可以使用分部积分法进行求解，具体步骤如下：将被积函数写成两个因式相乘的形式：$\frac{x - \sin(x)\cos(x)}{x^{2}\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)} = \frac{x}{x^{2}\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)} - \frac{\sin(x)\cos(x)}{x^{2}\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)}$然后对其中的每一部分分别进行分部积分。对第一部分进行分部积分，令 $u = x$， $dv = \frac{1}{x^{2}\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)}dx$，则有：$du = dx$，$v = \frac{1}{\cos(x)} \arctan\left(\frac{x\sin(x)}{\cos^{2}(x)}\right)$。
咨询记录 · 回答于2024-01-26
∫(x-sinxcosx)/(x^2cos^2x+sin^2x)dx
### 分部积分法求解
在处理积分问题时，分部积分法是一种常用的方法。以下是求解给定积分的步骤：
1. 首先将被积函数写成两个因式相乘的形式：
$\frac{x - \sin(x)\cos(x)}{x^{2}\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)}$
这个形式将帮助我们更容易地应用分部积分法。
2. 接下来，对每一部分进行分部积分。首先考虑第一部分：
$\frac{x}{x^{2}\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)}$
进行分部积分，设 $u = x$，则 $du = dx$。
对于微分项 $dv$，计算为：
$dv = \frac{1}{x^{2}\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)} dx$
3. 进行分部积分，得到：
$u \cdot v = x \cdot \frac{1}{\cos(x)} \arctan\left(\frac{x\sin(x)}{\cos^{2}(x)}\right)$
4. 最后，对第二部分进行分部积分，设 $u = \sin(x)\cos(x)$，则 $du = \cos^{2}(x) - \sin^{2}(x) dx$。
对于微分项 $dv$，计算为：
$dv = \frac{1}{x^{2}\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)} dx$
5. 进行分部积分，得到：
$u \cdot v = \sin(x)\cos(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} \arctan\left(\frac{x\sin(x)}{\cos^{2}(x)}\right)$
通过上述步骤，我们成功使用分部积分法求解了给定的积分。
## 引言
- 对第二部分进行分部积分
- 令 u = sin(x)cos(x)
- dv = (1 / (x^2cos^2(x) + sin^2(x))) dx
## 过程与解析
- du = (cos^2(x) - sin^2(x)) dx = cos(2x) dx
- v = (1 / 2) ln(x^2cos^2(x) + sin^2(x))
- 将两部分的积分结果代入原式，得到：∫(x-sinxcosx)/(x^2cos^2x+sin^2x)dx = (1 / cos(x)) arctan[(xsin(x)) / cos^2(x)] - (1 / 2) ln(x^2cos^2(x) + sin^2(x)) + C
## 结论
- 其中，C为常数项
- 这就是原式的积分结果
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？
