Question

求椭圆x^2/9 +y^2/4 =1绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积

Answer 1

问：求椭圆x^2/9 +y^2/4 =1绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积

答：亲，您好很高兴为您解答求椭圆x^2/9 +y^2/4 =1绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积解题过程如下：使用圆柱坐标系，该椭圆在该坐标系中的方程为：r^2/z^2 = 9/4其中，r为到y轴的距离，z为在y轴上的高度。由于旋转体是以y轴为旋转轴旋转而成，因此我们需要将该方程变为关于r和y的方程形式。观察可知，当y为常数时，r随着z的增大而增大，因此我们可以将z表示为：z = (2/3) * sqrt(r^2 - y^2)将该表达式代入椭圆的方程中，得到：r^2 / ((2/3) * sqrt(r^2 - y^2))^2 = 9/4化简可得：r^2 - (9/4) * (r^2 - y^2)^(3/2) = 0解出r，得：r = (3/2) * sqrt(y^2 + 4/3)因此，旋转体的体积为：V = ∫(y从-2到2) πr^2dy= ∫(y从-2到2) π(9/4)*(y^2+4/3)dy= π * [(9/4) * (8/3) * 2 + (9/4) * (4/3) * 4/3]= 12π因此，该椭圆绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为12π。

答：拓展补充：体积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量哦。体积的国际单位制是立方米。一件固体物件的体积是一个数值用以形容该物件在三维空间所占有的空间哦。一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）在三维空间中都是零体积的哦。