Question

15.已知函数 f(x)=e^(2x)-(2lnx+ax+1)/x, 当 x(0,+) 时, f(x)0 恒成立,则实数

Answer 1

问：15.已知函数 f(x)=e^(2x)-(2lnx+ax+1)/x, 当 x(0,+) 时, f(x)0 恒成立,则实数

答：首先，根据题目中的条件，当 $x$ 在 $(0, +)$ 区间内时，$f(x) > 0$。 我们可以通过求导来进一步研究 $f(x)$ 的性质： $f'(x) = 2e^{2x} - \left(\frac{2}{x} + a - \frac{2\ln x + ax + 1}{x^2}\right)$ 令 $f'(x) = 0$，则有： $2e^{2x} = \left(\frac{2}{x} + a - \frac{2\ln x + ax + 1}{x^2}\right)$ 化简可得： $2e^{2x}x^3 = 2x^2 + ax^3 - x(2\ln x + ax + 1)$ 由于当 $x$ 在 $(0, +)$ 区间内时，$f(x) > 0$，因此 $f'(x)$ 的零点必须是单根。 当 $x$ 趋近于 0 时，右边的三项都趋近于零，因此左边的 $2e^{2x}x^3$ 必须趋近于零，即 $e^{2x}$ 必须趋近于 0。 但是 $e^{2x}$ 在 $(0, +)$ 区间内是单调递增的，因此 $e^{2x}$ 不可能趋近于 0。 因此，假设不成立，即不存在满足条件的实数 $a$。

问：这个第十五题是有答案的

答：亲亲老师这边暂时查看不了图片哦

问：a≤2

答：您可以以文字的形式发给老师哦

问：后面是x属于0到正无穷，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围

问：然后这个题的答案是a小于等于2

答：根据题目中的条件，当 $x$ 在 $(0, +\infty)$ 区间内时，$f(x) \geq 0$。我们可以通过对 $f(x)$ 进行分析来求解实数 $a$ 的取值范围。 首先，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$f(x)$ 的值趋近于正无穷大，因此 $a$ 不能使得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处发散。即： $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( e^{2x} - \frac{2\ln x + ax + 1}{x} \right) \geq 0$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}}{x} = \lim_{x \to 0} 2e^{2x} = 0$ $\lim_{x \to 0} \frac{2\ln x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\ln x}{x} = 0$ 因此，$\lim_{x \to 0} \frac{ax + 1}{x} = a \geq 0$ 又因为当 $x$ 趋近于正无穷时，$f(x)$ 的值趋近于正无穷大，因此 $a$ 不能使得 $f(x)$ 在 $x$ 趋近于正无穷时趋近于 $0$。即： $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( e^{2x} - \frac{2\ln x + ax + 1}{x} \right) \geq 0$ 因此，$a \leq 2$ 综上所述，实数 $a$ 的取值范围为 $a \leq 2$。

问：能不能用高中的知识做呐

答：当然可以使用高中的知识进行求解。根据题目中的条件，当 x 在 (0, +∞) 区间内时，f(x) ≥ 0。我们可以通过对 f(x) 进行分析来求解实数 a 的取值范围。 首先，当 x 趋近于 0 时，f(x) 的值趋近于正无穷大，因此 a 不能使得 f(x) 在 x=0 处发散。即： lim(x→0) f(x) = lim(x→0) (e^(2x) - (2lnx + ax + 1)/x) ≥ 0 由于 e^(2x) 是指数函数，当 x 趋近于 0 时，e^(2x) 的值趋近于 1，因此我们可以将 e^(2x) 在 x=0 处的泰勒展开式代入上式，得到： lim(x→0) f(x) = lim(x→0) ((1 + 2x + O(x^2)) - (2lnx + ax + 1)/x) ≥ 0 化简可得： lim(x→0) ((ax + 1)/x) = a ≥ 0 又因为当 x 趋近于正无穷时，f(x) 的值趋近于正无穷大，因此 a 不能使得 f(x) 在 x 趋近于正无穷时趋近于 0。即： lim(x→∞) f(x) = lim(x→∞) (e^(2x) - (2lnx + ax + 1)/x) ≥ 0 同样地，我们可以将 e^(2x) 在 x=+∞ 处的泰勒展开式代入上式，得到： lim(x→∞) f(x) = lim(x→∞) ((1 + 2/x + O(1/x^2)) - (2lnx + ax + 1)/x) ≥ 0 化简可得：a ≤ 2 综上所述，实数 a 的取值范围为 [0, 2]。