Question

为什么基本不等式的前提是ab大于零

Answer 1

问：为什么基本不等式的前提是ab大于零

答：亲亲，很高兴为您解答，不等式的前提条件ab>0是因为在不等式中涉及到了乘法，而乘法中存在一条基本规则，即两个数的积为正数的前提是两个数的符号相同。也就是说，当a和b的符号相同时，它们的积为正数，当符号不同时，它们的积为负数。因此，在一般情况下，如果要对不等式ab ≥ cd 进行变形，则需要将其分别化为 (a+c)(b+d)≥ ad+bc 的形式，而这又要求a、b、c、d的符号相同。因此，为了避免符号不同的情况，基本不等式的前提条件是ab>0，这样可以保证在进行乘法和变形时不会出现符号不同的情况，从而保证不等式的正确性。

问：为什么基本不等式的前提是a和b都大于零

答：亲亲，基本不等式的前提条件是$a$和$b$都大于零，即$a>0$且$b>0$。这是因为基本不等式中使用了算术平均数和几何平均数之间的关系，即$\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$。其中，算术平均数$\frac{a+b}{2}$表示两个数$a$和$b$的平均值，而几何平均数$\sqrt{ab}$表示两个数$a$和$b$的乘积的平方根。由于几何平均数的定义域为非负实数集合，因此当$a$和$b$中有一个或两个数小于等于零时，几何平均数不存在，基本不等式也就无法成立。因此，为了保证基本不等式的成立，必须满足$a>0$且$b>0$的条件。