Question

15.如图,在正方形纸片ABCD的边AD上取中点E,将CDE沿CE所在直线折叠,得到 CD'E，过点D'作平行于AB的直线分别交AD，BC于点M，N。延长CD'交AB于点P，连接PM。若正方形ABCD的边长为4，求PM的长。

Answer 1

问：15.如图,在正方形纸片ABCD的边AD上取中点E,将CDE沿CE所在直线折叠,得到 CD'E，过点D'作平行于AB的直线分别交AD，BC于点M，N。延长CD'交AB于点P，连接PM。若正方形ABCD的边长为4，求PM的长。

答：亲，很高兴为您解答，这边把您的图片发我看一下吧。

答：如果没有图片以正方形为例的话，以下解答希望对您有所帮助。

答：题目解答：设正方形纸片ABCD的边长为4，过点D'作平行于AB的直线分别交AD，BC于点M，N。延长CD'交AB于点P，连接PM。我们需要求解PM的长度。首先，根据纸片的折叠，我们可以得到$\angle CDE=\angle CD'E$，同时由于AE为$AD$的中线，所以$AE=\dfrac{1}{2}AD=2$，$CE=CD=4$。此外，$\angle MEN=90^\circ$。接着，我们考虑证明三角形$MEN$和$D'PC$相似，进而列出方程：首先，显然$ME\parallel D'C$，所以$\angle MEN=\angle PD'C$。由于$D'P\parallel AB$，所以$\angle D'CP=\angle ACD'=\angle ECD$，同时$\angle PD'C=\angle ECD$，因此$\triangle D'PC$和$\triangle CED$相似。进而，由$\angle MEN=\angle PD'C$可知$\triangle MEN$和$\triangle D'PC$相似。 将相似比例代入$\dfrac{PM}{CE}=\dfrac{ME}{D'C}$，可以得到：$$\dfrac{PM}{4}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}$$解得$PM=2\sqrt{2}$，即$PM$的长度为$\boxed{2\sqrt{2}}$。

答：或是这样

答：首先，将正方形纸片折叠后，我们可以发现点D和点D'重合，而且由于折叠，线段CE垂直于线段AD，并且与线段CD'重合。

答：接下来，我们可以通过观察图形得出以下结论：由于ABCD是一个正方形，所以线段AD和线段BC是平行的。由于CE垂直于AD，所以线段CE与线段AB也是平行的。由于CD'是线段CE沿着CE的延长线上折叠得到的，所以线段CD'和线段AB也是平行的。由于CD'和AB平行，所以线段PD'和线段PC平行，因此三角形PDC'和三角形ABC是相似的。

答：最后，我们可以使用勾股定理计算出 $PM$ 的长度：

答：因此，$PM$ 的长度为 $\sqrt{6}$。