Question

an是等差数列sn/n也是等差数列充要条件

Answer 1

对于一个等差数列，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。而sn表示前n项和，其公式为sn = (a1 + an)n/2。现在要证明an和sn/n均为等差数列的充要条件是该数列为等差数列。
首先，我们来证明如果该数列为等差数列，那么an和sn/n均为等差数列。因为该数列为等差数列，所以我们可以将an、a1和d写成关于n的函数形式：
an = a1 + (n-1)d
a1 = a1
d = (a2-a1)
将这些式子带入到sn的公式中，可以得到：
sn = (a1 + a1+(n-1)d)n/2
= n[a1 + (n-1)d]/2
因此，sn/n = [a1 + (n-1)d]/2
这个公式的右边也是关于n的函数形式，因此我们可以得到，如果该数列为等差数列，那么an和sn/n均为等差数列。
接下来，我们证明如果an和sn/n均为等差数列，那么该数列一定为等差数列。
首先，我们知道sn = (a1 + an)n/2，代入an = a1 + (n-1)d，可以得到：
sn = n(a1+a1+(n-1)d)/2
sn = na1 + n(n-1)d/2
sn/n = a1 + (n-1)d/2
因为sn/n是一个等差数列，所以它的公差为d/2。而根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，我们可以得到：
an = a1 + (2n-2)(d/2)
an = a1 + (n-1)d
因此，an也是一个等差数列，其公差为d。
综上所述，我们证明了如果an和sn/n均为等差数列，那么该数列一定为等差数列，同时也证明了如果该数列为等差数列，那么an和sn/n均为等差数列。因此，an和sn/n均为等差数列是该数列为等差数列的充要条件。