Question

利用积分表求下列不定积分。 1 (1)x(5x+3)dx

Answer 1

问：利用积分表求下列不定积分。 1 (1)x(5x+3)dx

问：第一小题和第三小题姐姐

答：您好。求不定积分$\intx(5x+3)\mathrm{d}x$。解法：我们可以先将被积函数展开，得到：$$\intx(5x+3)\mathrm{d}x=\int(5x^2+3x)\mathrm{d}x$$现在，我们针对不同的项进行不定积分：(1)对于$\int5x^2\mathrm{d}x$，由不定积分的基本公式可得：$$\int5x^2\mathrm{d}x=\frac{5}{3}x^3+C_1$$其中$C_1$为常数。(2)对于$\int3x\mathrm{d}x$，同样由不定积分的基本公式可得：$$\int3x\mathrm{d}x=\frac{3}{2}x^2+C_2$$其中$C_2$为常数。综上，我们得到不定积分的结果为：$$\intx(5x+3)\mathrm{d}x=\int(5x^2+3x)\mathrm{d}x=\frac{5}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+C$$其中$C=C_1+C_2$为常数。

问：姐姐下课了

答：您好。求不定积分$\intx(5x+3)\mathrm{d}x$。解法：我们可以先将被积函数展开，得到：$$\intx(5x+3)\mathrm{d}x=\int(5x^2+3x)\mathrm{d}x$$现在，我们针对不同的项进行不定积分：(1)对于$\int5x^2\mathrm{d}x$，由不定积分的基本公式可得：$$\int5x^2\mathrm{d}x=\frac{5}{3}x^3+C_1$$其中$C_1$为常数。(2)对于$\int3x\mathrm{d}x$，同样由不定积分的基本公式可得：$$\int3x\mathrm{d}x=\frac{3}{2}x^2+C_2$$其中$C_2$为常数。综上，我们得到不定积分的结果为：$$\intx(5x+3)\mathrm{d}x=\int(5x^2+3x)\mathrm{d}x=\frac{5}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+C$$其中$C=C_1+C_2$为常数。

答：亲，第一题，利用部分分式分解的方法，将被积函数化简为以下形式：$$\frac{1}{x(5x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{5x+3}$$求解系数A和B：$$\frac{1}{x(5x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{5x+3}$$$$\Rightarrow1=A(5x+3)+B(x)$$当$x=0$时，有$$1=A(0)+B(0)$$$$\RightarrowB=1$$当$x=-\frac{3}{5}$时，有$$1=A\cdot\frac{3}{5}+B\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)$$$$\RightarrowA=-\frac{5}{18}$$因此，原积分可化为$$\int\frac{1}{x(5x+3)}\mathrm{d}x=\int\left(-\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{5x+3}\right)\mathrm{d}x$$对每个小分式进行积分：$$\int\left(-\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{5x+3}\right)\mathrm{d}x=-\frac{5}{18}\ln|x|+\frac{1}{5}\ln|5x+3|+C$$其中，$C$为常数。