Question

G(x,y,z)=F(u,v),则z关于x求偏导

Answer 1

问：G(x,y,z)=F(u,v),则z关于x求偏导

答：亲，您好，很高兴为你解答问题：G(x,y,z)=F(u,v),则z关于x求偏导答，您好，z关于x的偏导数为0。依据链式法则，我们可以将G(x, y, z)表示为G(x, y, F(u, v))。现在我们要求z关于x的偏导数，即∂z/∂x哦。依据链式法则，我们有：∂G/∂x = (∂G/∂x) + (∂G/∂z) * (∂z/∂x)由于G(x, y, z) = F(u, v)，所以∂G/∂z = ∂F/∂v * (∂v/∂z)。另外，由于G(x, y, z) = G(x, y, F(u, v))，所以∂G/∂x = ∂G/∂x * (∂x/∂x) + ∂G/∂y * (∂y/∂x) + ∂G/∂z * (∂z/∂x)。我们知道∂x/∂x = 1，∂y/∂x = 0，代入上述公式，可以得到：∂G/∂x = ∂G/∂x + ∂G/∂z * (∂z/∂x)将之前得到的∂G/∂z = ∂F/∂v * (∂v/∂z)代入上述公式，可以得到：∂G/∂x = ∂G/∂x + ∂F/∂v * (∂v/∂z) * (∂z/∂x)我们要求的是∂z/∂x，所以将上述公式改写为：∂z/∂x = (∂G/∂x - ∂G/∂x) / (∂F/∂v * (∂v/∂z))简化后，得到：∂z/∂x = 0 / (∂F/∂v * (∂v/∂z)) = 0所以，z关于x的偏导数为0。希望对您有帮助

答：【扩展补充】当G(x, y, z) = F(u, v)时，我们可以看出z并不直接依赖于x，而是间接通过u和v来影响。所以，z关于x的偏导数为0，表示z对x的变化没有直接的影响。这个结果也可以从几何上理解。如果将G(x, y, z) = F(u, v)表示为一个三维空间中的曲面，其中z轴表示G(x, y, z)，xy平面表示F(u, v)，那么z关于x的偏导数为0意味着在该曲面上，沿着x方向变化时，z值保持不变。所以，当G(x, y, z) = F(u, v)时，z关于x的偏导数为0，表示z对x的变化没有直接影响。

问：若u等于y/x，v等于z/x呢

答：是要打入进题目里面去，重新算，还是单独算？

答：代入

问：题目是，G（x，y，z）=F（y/x，z/x）

问：我是把后面用u，v代替了

问：好的

答：你好，依据链式法则，我们可以求得z关于x的偏导数。首先，我们将G(x, y, z)表示成F(u, v)的形式，其中u = y/x，v = z/x哦。然后，对u和v分别求关于x的偏导数，即：∂u/∂x = (∂(y/x))/∂x = -y/x^2∂v/∂x = (∂(z/x))/∂x = -z/x^2接下来，依据链式法则，我们有：∂G/∂x = (∂F/∂u) * (∂u/∂x) + (∂F/∂v) * (∂v/∂x)将上面求得的偏导数代入，得到：∂G/∂x = (∂F/∂(y/x)) * (-y/x^2) + (∂F/∂(z/x)) * (-z/x^2)综上所述，z关于x的偏导数为：∂G/∂x = (∂F/∂(y/x)) * (-y/x^2) + (∂F/∂(z/x)) * (-z/x^2)

问：你好

问：我主要想咨询z关于x求偏导变换成g关于x求偏导和g关于z求偏导的比值前面为什么有个负号

答：你好，在函数转换中，如果我们要求G关于x的偏导数，那么我们需要使用链式法则哦。依据链式法则，我们有：∂G/∂x = (∂F/∂u * ∂(y/x)/∂x) + (∂F/∂v * ∂(z/x)/∂x)其中，u = y/x，v = z/x。现在考虑 (∂(z/x)/∂x) 这一项。我们可以将它写成 (∂(z/x)/∂x) = (∂(z/x)/∂z * ∂z/∂x) + (∂(z/x)/∂x * ∂x/∂x)。由于 (∂x/∂x) = 1，所以 (∂(z/x)/∂x * ∂x/∂x) = (∂(z/x)/∂x)。所以，我们可以简化上述表达式为：∂G/∂x = (∂F/∂u * ∂(y/x)/∂x) + (∂F/∂v * (∂(z/x)/∂z * ∂z/∂x) + (∂(z/x)/∂x))= (∂F/∂u * ∂(y/x)/∂x) + (∂F/∂v * (∂(z/x)/∂z * ∂z/∂x) + (∂(z/x)/∂x))现在我们来观察这个结果。注意到 (∂(z/x)/∂x) = (∂(z/x)/∂z * ∂z/∂x)，所以 (∂(z/x)/∂x) 可以写成 -(∂(z/x)/∂z * ∂z/∂x) 的形式，因为两者相等。所以，上述表达式可以进一步简化为：∂G/∂x = (∂F/∂u * ∂(y/x)/∂x) - (∂F/∂v * (∂(z/x)/∂z * ∂z/∂x)这就解释了为什么在 G 关于 x 求偏导数的结果中有一个负号。

答：扩展补充：这个负号的出现是由于对变量进行求导时，链式法则的应用。在对 z 关于 x 求偏导时，我们需要将其转换为关于 u = y/x 和 v = z/x 的函数，并应用链式法则。其中，涉及到 z 对 x 的变化率的部分带有负号，所以在最终的求导结果中也会出现负号。这个负号的存在实际上反映了变量之间的相互影响和变化趋势的反向性。