4.已知mn为正整数,+m^2+n^2+1=2m+2n,+则+m+n+的值为
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亲爱的用户：
您好！以下是式子的变形以及相关分析：
式子变形：$m^2 - 2m + n^2 - 2n = -1$ 可以转化为 $(m-1)^2 + (n-1)^2 = 1$。
这是一个以 (1,1) 为圆心、半径为1的圆，圆上的整点有：{(0,1), (1,0), (2,1), (1,2)}。
设 $m+n=S$，则有 $S+(m^2 +n^2 +1)=2(m+n)$。
代入 $m^2 - 2m + n^2 -2n=-1$，化简得 $(S-2)^2 + 2=8$，进一步得到 $S=4$ 或 $S=0$。
由于 $S$ 不可能为0（因为 $m, n$ 均为正整数），所以 $S=4$，即 $m+n=4$。
如果您还有其他问题或需要进一步了解，请随时联系我们。祝您一切顺利！
咨询记录 · 回答于2023-12-25
4.已知mn为正整数,+m^2+n^2+1=2m+2n,+则+m+n+的值为
亲爱的用户：
首先，我们将给定的式子进行变形：
$m^2 - 2m + n^2 - 2n = -1$
$(m-1)^2 + (n-1)^2 = 1$
经过观察，我们发现这实际上是以(1,1)为圆心，半径为1的圆。该圆上的整点有：
{(0,1), (1,0), (2,1), (1,2)}
接下来，我们设 $m+n=S$，然后根据给定的条件，我们有：
$S+(m^2 +n^2 +1)=2(m+n)$
代入 $m^2 - 2m + n^2 -2n=-1$ 进行化简，我们得到：
$(S-2)^2 + 2=8$
进一步求解，我们得到 $S=4$ 或 $S=0$。但是，由于 $m,n$ 均为正整数，$S$ 不可能为0，因此 $S=4$，即 $m+n=4$。
值为即 m+n=4。
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