设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=｛Ax,0<y<x<1;0,其他｝，（1）求常数A,(2)求X、Y的边缘概率密度fx（x）、fy（y）,（3）试问X、Y是否独立

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摘要首先确立Z的范围，由于$0 < y < x < 1$，所以$z$范围为(0,1)

然后考虑求Z的分布函数$F(z)$，即$P(x-y

那么，可以先自由取$y$，然后考虑$x$的范围使得$x-y

这里有个问题是，$y$取值的范围会使得$x$的取值限制范围不一样。

当$y < 1-z$的时候时，$x < y+z < 1$

当$y \geq 1-z$时，$x < 1 < y+z$的限制条件是无效的，即$x范围为(y,1)$

那么，计算分布函数的双重积分的里面式子是一样的，都为3x，只不过要分为两个式子，一部分，外面dy的范围为$(0,1-z)$，里面dx的范围为$(y,y+z)$另一部分，外面dy的范围为$(1-z,1)$，里面dx的范围为$(y,1)$。

咨询记录 · 回答于2023-12-25

设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=｛Ax,0

您好，您的问题我已经看到了，正在整理答案，请稍等一会儿哦~

利用所有事件概率和一定等于1的原理来求.具体方法就是∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(x,y)dydx=∫(0,1)dx∫(x,1)Ady=∫(0,1)(A-Ax)dx=1/2A=1所以A=2

首先，我们要确定Z的范围。由于$0 < y < x < 1$，因此Z的范围是$(0,1)$。接下来，我们需要求Z的分布函数$F(z)$，即$P(x-y < z)$，也就是$x < y+z$在对应z值下的概率。为了求这个概率，我们可以先自由地选择y的值，然后考虑x的范围，使得$x-y < z$。然后，我们就可以求出对应区域的概率密度积分。但是这里有一个问题需要注意：y的取值范围会影响x的取值范围。具体来说，当$y < 1-z$时，x的取值范围是$(y, 1-z)$；而当$y \geq 1-z$时，x的取值范围是$(y, 1)$。因此，我们需要将计算分布函数的双重积分分为两个部分。第一部分，外面的dy范围是$(0, 1-z)$，里面的dx范围是$(y, y+z)$；第二部分，外面的dy范围是$(1-z, 1)$，里面的dx范围是$(y, 1)$。虽然双重积分的内部表达式都是$3x$，但由于上述的取值范围限制，我们需要将其分为两个不同的式子来处理。

最后算出的结果：第一部分是a/2*z(1-z),即3/2*z(1-z)，第二部分为a/6*(3z^2-z^3)，即1/2*(3z^2-z^3)，和加起来即F(z)=3/2*z-1/2*z^3 z∈(0,1)由分布函数求概率密度函数为g(z)=3/2(1-z^2)

二、实际上在这里画出图即可，分布区域为D:X+Y>1，x属于(0,1)，y属于(0,1) 面积S=1/2，而画出X+Y>1的直线，与分布区域相交得到即(1/2 ,1/2),(1,0)和(0,1)三点组成的三角形，那么显然面积为1/4，所以P(X+Y>1)= (1/4) / (1/2)=1/2

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