用拉普拉斯变换求Ty''+y=1,y(0)=y'(0)=0的解
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解：∵齐次方程y''+4y'+3y=0的特征方程是r²+4r+3=0
==>r1=-1,r2=-3
∴此齐次方程的通解是y=c1e^(-t)+c2e^(-3t)
(c1,c2是积分常数)
设原方程的特解是y=ate^(-t)
==>y'=ae^(-t)-ate^(-t),y''=ate^(-t)-2ae^(-t)
代入原方程得ate^(-t)-2ae^(-t)+4[ae^(-t)-ate^(-t)]+3ate^(-t)=e^(-t)
==>2ae^(-t)=e^(-t)
==>a=1/2
即原方程的特解是y=te^(-t)/2
故原方程的通解是y=c1e^(-t)+c2e^(-3t)+te^(-t)/2
(c1,c2是积分常数)。
∵y(0）=y'(0)=1
y'=-c1e^(-t)-3c2e^(-3t)+e^(-t)/2-te^(-t)/2
==>c1+c2=-c1-3c2+1/2=1
==>c1=7/4,c2=-3/4
∴原方程满足条件y(0)=y'(0)=1的解是y=7e^(-t)/4-3e^(-3t)/4+te^(-t)/2。
咨询记录 · 回答于2021-12-14
用拉普拉斯变换求Ty''+y=1,y(0)=y'(0)=0的解
求解步骤答案如上图所示
T>0为常数
图中有详细过程
你这个并没有T啊，消失了吗？
解：∵齐次方程y''+4y'+3y=0的特征方程是r²+4r+3=0==>r1=-1,r2=-3∴此齐次方程的通解是y=c1e^(-t)+c2e^(-3t)(c1,c2是积分常数)设原方程的特解是y=ate^(-t)==>y'=ae^(-t)-ate^(-t),y''=ate^(-t)-2ae^(-t)代入原方程得ate^(-t)-2ae^(-t)+4[ae^(-t)-ate^(-t)]+3ate^(-t)=e^(-t)==>2ae^(-t)=e^(-t)==>a=1/2即原方程的特解是y=te^(-t)/2故原方程的通解是y=c1e^(-t)+c2e^(-3t)+te^(-t)/2(c1,c2是积分常数)。∵y(0）=y'(0)=1y'=-c1e^(-t)-3c2e^(-3t)+e^(-t)/2-te^(-t)/2==>c1+c2=-c1-3c2+1/2=1==>c1=7/4,c2=-3/4∴原方程满足条件y(0)=y'(0)=1的解是y=7e^(-t)/4-3e^(-3t)/4+te^(-t)/2。
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