Question

设二维随机变量(X,Y)在由x轴,y轴及直线x+y－2=0所围成的区域G上服从均匀分布,求证: X与Y的协方差cov(X,Y)=－1/9

Answer 1

问：设二维随机变量(X,Y)在由x轴,y轴及直线x+y－2=0所围成的区域G上服从均匀分布,求证: X与Y的协方差cov(X,Y)=－1/9

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答：其详细过程是，①先求出(x,y)的密度函数f(x,y)。∵x轴,y轴及直线x+y-2=0所围成的区域D的面积SD=2。D={(x,y)丨0

答：②求出XY的边缘分布密度函数。按照定义，X的边缘分布密度函数fX(x)=∫(-∞,∞)f(x,y)dy=1-x/2,0

答：③求特征值E(X)、D(X)、E(Y)、D(Y)和Cov(X,Y)。E(X)=∫(0,2)xfX(x)dx=2/3，E(X²)=∫(0,2)x²fX(x)dx=2/3，∴D(X)=E(X²)-[E(X)]²=2/9。同理，E(Y)=2/3、D(Y)=2/9。E(XY)=∫(0,2)dx∫(0,2-x)xyf(x,y)dy=1/3，∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/3-(2/3)²=-1/9。

答：④求相关系数ρXY。ρXY=[Cov(X,Y)]/[D(X)D(Y)]^(1/2)=-1/2。

答：以上仅供参考