Question

如果fx存在唯一极值点且极值为零求a

Answer 1

问：如果fx存在唯一极值点且极值为零求a

答：亲亲您好！很高兴为您解答：假设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处存在唯一极值点，且极值为 $0$，即 $f(a)=0$，则有以下两种情况：$a$ 是 $f(x)$ 的零点，即 $f(a)=0$，则 $a$ 是 $f(x)$ 的一个解。$a$ 不是 $f(x)$ 的零点，但 $f(x)$ 在 $x=a$ 处存在极值点且极值为 $0$，则由极值点的定义可知 $f'(a)=0$，即 $a$ 是 $f(x)$ 的一个驻点。由于题目假设 $a$ 是唯一的极值点，因此 $a$ 也是唯一的驻点。综上，如果 $f(x)$ 存在唯一极值点且极值为 $0$，则 $a$ 可能是 $f(x)$ 的一个解，或者是 $f(x)$ 的唯一驻点。

问：第二问，第二问，讨论fx在区间（l，e［的零点个数。

答：根据零点定理，如果 $f(x)$ 在区间 $(l,e)$ 内连续，且 $f(l)$ 和 $f(e)$ 的符号不同，则 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内至少有一个零点。如果 $f(x)$ 在区间 $(l,e)$ 内只有一个零点，那么这个零点必须是 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内的唯一极值点。因为如果 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内还有其他的极值点，那么这些极值点和零点交替出现，根据零点定理，$f(x)$ 在 $(l,e)$ 内至少有两个零点，与假设矛盾。因此，我们需要讨论 $f(x)$ 在区间 $(l,e)$ 内的极值点个数。如果 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内没有极值点，则 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内单调递增或单调递减。由于 $f(l)$ 和 $f(e)$ 的符号不同，因此 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内至少有一个零点。如果 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内有一个极值点，那么这个极值点必须为零点。因为如果这个极值点不是零点，那么这个极值点的左侧和右侧符号相同，而 $f(l)$ 和 $f(e)$ 的符号不同，因此 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内至少有两个零点，与假设矛盾。如果 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内有两个或两个以上的极值点，那么这些极值点一定交替出现，且每个极值点的左侧和右侧符号相反。由于 $f(l)$ 和 $f(e)$ 的符号不同，因此 $f(x)$ 在 $(l,e)$ 内至少有两个零点。综上所述，$f(x)$ 在区间 $(l,e)$ 内的零点个数为：如果 $f(x)$ 在区间 $(l,e)$ 内没有极值点，则至少有一个零点。如果 $f(x)$ 在区间 $(l,e)$ 内有一个极值点，则恰好有一个零点。如果 $f(x)$ 在区间 $(l,e)$ 内有两个或两个以上的极值点，则至少有两个零点。