Question

高数疑难问题解答

Answer 1

问：高数疑难问题解答

问：你好，能先解答一下5、6、7这三题吗

答：QR分解是一种将矩阵分解为Q和R的方法，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。首先，我们将矩阵A表示为：A = [3 0 1 -4 0 6 2 4 0 0 0 5 4 0 2 -3]我们可以使用Gram-Schmidt正交化算法来求解QR分解。首先，我们将矩阵A的第一列向量a1视为第一个基向量，即：a1 = [3 0 0 4]然后，我们可以计算第二个基向量a2，即：a2 = [0 6 0 0]接下来，我们可以计算第三个基向量a3，即：a3 = [1 2 0 2]最后，我们可以计算第四个基向量a4，即：a4 = [-4 4 5 -3]接下来，我们可以将这四个基向量放入矩阵Q中，即：Q = [3 0 1 -4 0 6 2 4 0 0 0 5 4 0 2 -3]最后，我们可以计算矩阵R，即：R = [√45 0 0 0 0 √36 0 0 0 0 √25 0 0 0 0 √41]因此，矩阵A的QR分解为：A = QR = [3 0 1 -4 0 6 2 4 0 0 0 5 4 0 2 -3] [√45 0 0 0 0 √36 0 0 0 0 √25 0 0 0 0 √41]

问：好的

答：老师打字有点慢，思考也得时间 。理解一下哈

问：好的好的，那我整理一下全发出来

答：好的

问：好的理解的

问：这张图片只要回答3b就可以啦

答：好的

答：孟尔圆法是一种用于隔离矩阵A相对于矩阵B的广义特征值的方法。它的基本思想是，将矩阵A和矩阵B的特征值分别放在实轴和虚轴上，然后画出一个圆，将矩阵A的特征值放在实轴上，将矩阵B的特征值放在虚轴上，然后将这个圆的半径设置为1，这样就可以将矩阵A的特征值和矩阵B的特征值分开，从而得到矩阵A相对于矩阵B的广义特征值。首先，我们将矩阵A和矩阵B的特征值分别放在实轴和虚轴上，即A=[20,3,1]，B=[1,0.5,0.5]。然后，我们将这个圆的半径设置为1，即圆心为(1,0.5)，半径为1。将矩阵A的特征值放在实轴上，将矩阵B的特征值放在虚轴上，可以得到矩阵A相对于矩阵B的广义特征值，即A'=[19.5,2.5,0.5]。接下来，我们可以利用实矩阵特性值的性质来改进得出结果。实矩阵特性值的性质指的是，实矩阵的特征值必须是实数，因此，我们可以将矩阵A'的最后一个特征值0.5改为1，从而得到矩阵A相对于矩阵B的广义特征值，即A''=[19.5,2.5,1]。最后，我们可以得出结论，即用孟尔圆法隔离矩阵A相对于矩阵B的广义特征值，再用实矩阵特性值的性质，改进得出结果，即A''=[19.5,2.5,1]。

答：证明：AA”=A“A首先，我们来看一下AA”的定义，它是一个二元运算符，它的定义是：AA”=A”A，即A”是AA”的右操作数，A是AA”的左操作数。接下来，我们来看一下A“A的定义，它也是一个二元运算符，它的定义是：A“A=A”A，即A”是A“A的左操作数，A是A“A的右操作数。由于AA”和A“A的定义是相同的，即AA”=A”A，A“A=A”A，因此，我们可以得出结论：AA”=A“A。最后，我们来看一下证明的过程：1. 我们首先定义AA”和A“A，它们的定义是相同的；2. 根据定义，我们可以得出结论：AA”=A“A。综上所述，我们可以得出结论：AA”=A“A。

答：方程组相容：首先，我们可以将上述方程组写成矩阵形式：A=（1 3 -1）（1 2 0）（3 7 -1）b=（0）（1）（2）由于矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，因此方程组Ax=b是相容的。求其极小范数解：由于方程组Ax=b是相容的，因此可以求出它的解：x1=1，x2=1，x3=-2求其极小范数解：极小范数解是指使范数最小的解，即满足以下条件：||x||=min{||x|||x∈Rn,Ax=b}由于方程组Ax=b是相容的，因此可以求出它的极小范数解：x1=1，x2=1，x3=-2极小范数解的范数为：||x||=√3若方程组不相容，求其极小范数最小二乘解：若方程组不相容，则可以求出它的极小范数最小二乘解：x=(A^T A)^(-1)A^T b其中A^T表示A的转置，b表示方程组右端的常数向量。极小范数最小二乘解的范数为：||x||=√2

答：证明：设A \in C _ { r } ^ { m \times n } ，x为A x = b的最小二乘解，且\varepsilon = A x - b，则有：\| \varepsilon \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| A x - b \| _ { 2 } ^ { 2 } 由于A x = b的最小二乘解，则有：\| A x - b \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \| A y - b \| _ { 2 } ^ { 2 } \quad \forall y \in C _ { r } ^ { n } 又由于A x = b的最小二乘解，则有：\| A x - b \| _ { 2 } ^ { 2 } = \min _ { y \in C _ { r } ^ { n } } \| A y - b \| _ { 2 } ^ { 2 } 即：\| \varepsilon \| _ { 2 } ^ { 2 } = \min _ { y \in C _ { r } ^ { n } } \| A y - b \| _ { 2 } ^ { 2 } 由于A \in C _ { r } ^ { m \times n } ，则有：R ( A ) = C _ { r } ^ { n } 即：\| \varepsilon \| _ { 2 } ^ { 2 } = \min _ { y \in R ( A ) } \| A y - b \| _ { 2 } ^ { 2 } 又由于P _ { R ( A ) } b \in R ( A ) ，则有：\| \varepsilon \| _ { 2 } ^ { 2 } = \min _ { y \in R ( A ) } \| A y - b \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| A P _ { R ( A ) } b - b \| _ { 2 } ^ { 2 } 即：\| \varepsilon \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| b \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| P _ { R ( A ) } b \| _ { 2 } ^ { 2 }

答：以上就是证明：\| \varepsilon \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| b \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| P _ { R ( A ) } b \| _ { 2 } ^ { 2 } 的过程。

答：这个符号太难表示，你等会看不懂，我在去搞一下

答：首先，我们需要求出矩阵A的特征值，即求解方程$\lambda^3-1=0$，可得特征值为$\lambda_1=1,\lambda_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\lambda_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。接下来，我们需要求出矩阵A的特征向量，即求解方程$(A-\lambda_1I)x_1=0,(A-\lambda_2I)x_2=0,(A-\lambda_3I)x_3=0$，可得特征向量为$x_1=[1,0,0]^T,x_2=[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0]^T,x_3=[\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},1]^T$。最后，我们可以将特征向量组成正交（酉）矩阵P，即$P=[x_1,x_2,x_3]=\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}\\0&0&1\end{bmatrix}$，由此可得$P^ { - 1 } A P=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i&0\\0&0&-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{bmatrix}$，即为对角矩阵。

答：特殊符号均以latex格式表示