Question

伴随矩阵的秩与矩阵的秩的关系

Answer 1

一个方阵与其伴随矩阵的秩的关系：

（1）当r(A)=n时，|A|≠0,所以|A*|≠0，所以r(A*)=n；

（2) 当r(A)=n-1时，|A|=0，但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0（秩的定义），所以r(A*)大于等于1（A*的定义）；

为了证明r(A*)=1，下面证明 r(A*) 小于等于1

这里利用公式AA*=|A|E=0，根据上次给大家总结的有关秩的结论，我们得到r(A)+r(A*)小于等于n,因为r(A)=n-1，所以 r(A*) 小于等于1 ,综上 r(A*) =1；

（3）当r(A)<n-1时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即A*=0，所以r(A*)=0


矩阵的列秩

如果A是行满秩的矩阵，因为矩阵的列秩等于矩阵的行秩，所以矩阵的列秩等于矩阵的行数，所以矩阵的列向量的线性组合一定能得到所有该维数的列向量。

比如A是2x4的矩阵，A的秩为2，那么组成A的四个列向量的秩为2，这四个列向量都是2维的，那这四个列向量是不是能线性组合成任意的二维列向量，所以一定有解。

A的形式要么是矮且胖要么是方阵（矩阵的列不可能小于矩阵的行数），如果矩阵A矮且胖的话，那么对线性方程组的约束的个数（矩阵的行数）小于未知数的个数，那就是无穷多解。矩阵A是方阵，根据克拉默法则我们也能得出是唯一解。