∫（5－3x／1＋x²）dx

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小小小猫咪0u

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摘要使用代换法，令 $u=\sqrt{x+1}$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\mathrm{d}x$，从而有 \begin{align*} \int \frac{x}{(x+1)\sqrt{x+1}},\mathrm{d}x &= \int \frac{(u^2-1)}{(u^2-1)u}\cdot 2u,\mathrm{d}u \ &= \int \frac{2u}{u^2-1},\mathrm{d}u - \int \frac{2u^2}{u^2-1},\mathrm{d}u \ &= \ln|u^2-1| - \int \frac{(u^2-1)+1}{u^2-1},\mathrm{d}u \ &= \ln|u^2-1| - \int \left(1+\frac{1}{u^2-1}\right),\mathrm{d}u \ &= \ln|u^2-1| - u - \frac{1}{2}\ln|u^2-1| + C \ &= \frac{1}{2}\ln|u^2-1| - u + C \ &= \frac{1}{2}\ln|x+1| - \sqrt{x+1} + C. \end{align*} 因此，不定积分为 $\boxed{\frac{1}{2}\ln|x+1| - \sqrt{x+1} + C}$，其中 $C$ 为任意常数。

咨询记录 · 回答于2023-02-28

∫（5－3x／1＋x²）dx

是这一题

亲老师是手机可以麻烦您把题目打出来吗

这个打不出来

亲老师这边看不到图

手机看不清

这上面的第五题

亲老师在看你这张图

太小了

使用代换法，态销册令 $u=\sqrt{x+1}$，斗洞则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\mathrm{d}x$，从而有 \begin{align*} \int \frac{x}{(x+1)\sqrt{x+1}},\mathrm{d}x &= \int \frac{(u^2-1)}{(u^2-1)u}\cdot 2u,\mathrm{d}u \ &= \int \frac{2u}{u^2-1},\mathrm{d}u - \int \frac{2u^2}{u^2-1},\mathrm{d}u \ &= \ln|u^2-1| - \int \frac{(u^2-1)+1}{u^2-1},\mathrm{d}u \ &= \ln|u^2-1| - \int \left(1+\frac{1}{u^2-1}\right),\mathrm{d}u \ &= \ln|u^2-1| - u - \frac{1}{2}\ln|u^2-1| + C \ &= \frac{1}{2}\ln|u^2-1| - u + C \ &= \frac{1}{2}\ln|x+1| - \sqrt{x+1} + C. \end{align*} 因此，不定积分为 $\boxed{\frac{1}{2}\ln|x+1| - \sqrt{x+1} + C}$，其中 $C$ 为任意常帆宏数。

不定积分为 $\boxed{\frac{1}{2}\ln|x+1| - \sqrt{x+1} + C}$，其中 $C$ 为滑铅州任意常信蔽激绝数。

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