Question

(y^2+1)dx=(2xy+y^2+y^4)dy的解

Answer 1

问：(y^2+1)dx=(2xy+y^2+y^4)dy的解

答：亲亲，您好。(y^2+1)dx=(2xy+y^2+y^4)dy的解如下(y^2+1)dx=(2xy+y^2+y^4)dy=> dx/dy = (2xy+y^2+y^4)/(y^2+1)=> dx/dy = 2x + 3y^3=> dx = (2x + 3y^3)(y^2 + 1)dy=> (y^2 + 1) (2xy + 3y^4) dy = dx=> 4xy^3 + 3y^6 + 2y^3x + x = C=> 4xy^3 + 3y^6 + 2x(y^3 + 1) = C=> (4y^3 + 3y^6 + 2x) = C=> 运用分离变量法可解出y。解方程4xy^3 + 3y^6 + 2x(y^3 + 1) = C第一步,将其分离变量为:4y^3 + 3y^6 = C - 2x (1)第二步,再次分离变量, y3 + y^4 = (C - 2x)/4 (2)第三步,根号两边:(-1, -1/2)之间的数值。以及:y = (-1, -1/2)时的逆对数作为已知的系数类推得到C - 2x 的值。进而解出y的变化在x的同时。

问：在帮忙看看这题

答：亲亲，请您以文字的形式编辑出来哦，我才更更好地为您解答哦。图片我这边看不是很清楚哦，

问：在军事交战中,作战双方在时刻t的兵员数量分别为x=x(t),y=y(t),双方的伤亡率(即兵员变化率 均与对方的兵员数量成正比,假设比例系数分别为a,b(a,b>0),双方投入的兵员数分别为x0,y0,证明交战规律:b(x0^2-x^2)=a(y0^2-y^2),并分析如果一方的威力为另一方的2倍,则威力小的一方需要投入对方兵力的几倍才能维持均势交战(最终双方兵员数均为0)?

答：亲亲，您好。在军事交战中,作战双方在时刻t的兵员数量分别为x=x(t),y=y(t),双方的伤亡率(即兵员变化率 均与对方的兵员数量成正比,假设比例系数分别为a,b(a,b>0),双方投入的兵员数分别为x0,y0,证明交战规律:b(x0^2-x^2)=a(y0^2-y^2),并分析如果一方的威力为另一方的2倍,则威力小的一方需要投入对方兵力的几倍才能维持均势交战(最终双方兵员数均为0)如下给出的军事交战规律为:dx/dt = ax ; dy/dt = by其中 a,b 为比例系数。从而可以得到:x0 - x = x0^2 / (2a) (1)y0 - y = y0^2 / (2b) (2)通过(1)-(2)得出:b(x0^2-x^2) = a(y0^2-y^2) (3)这就证明了交战规律 b(x0^2-x^2) = a(y0^2-y^2)。其次,如果一方的威力为另一方的2倍,则可以认为:a = 2bSubstitute 到(3)得:2b(x0^2-x^2) = b(y0^2-y^2)simplifying 后可得:x0^2 = 2y0^2 (4)从(4)可以看出,如果一方的威力为另一方的2倍,那么较弱一方需要投入对方的2倍兵员,才能维持较长时间的交战直至双方兵员接近耗尽。 最终双方兵员数将趋近于0。所以在这种情况下,较弱一方需要投入较强一方2倍的兵力,才能维持较长时间的均势交战。

答：亲亲，您好。这是一道数学问题，需要运用微积分的知识进行证明和分析。以下是解答过程：首先，根据题意，我们可以列出如下的微分方程：\frac{dx}{dt}=-by\\ \frac{dy}{dt}=-ax \end{cases}$$ 其中，$a,b$为比例系数，$x,y$为时刻$t$时双方的兵员数量。 对上述微分方程进行求解，得到： $$\begin{cases} x=x_0\cos(\sqrt{ab}t)+\frac{y_0}{\sqrt{ab}}\sin(\sqrt{ab}t)\\ y=y_0\cos(\sqrt{ab}t)-\frac{x_0}{\sqrt{ab}}\sin(\sqrt{ab}t) \end{cases}$$ 将上述解代入原方程，可以得到： $$b(x_0^2-x^2)=a(y_0^2-y^2)$$ 这便是所要证明的交战规律。 接下来，我们来分析第二个问题。 假设一方的威力为另一方的2倍，则有： $$a_1=2a_2$$ 设威力小的一方需要投入对方兵力的$k$倍才能维持均势交战，则有： $$\frac{x_{20}}{x_{10}}=k\frac{y_{10}}{y_{20}}$$ 其中，$x_{10},x_{20}$分别为双方投入的兵力。 将上述式子代入交战规律，可以得到： $$\frac{y_{20}^2-y^2}{y_{10}^2-y^2}=2\frac{x_{20}^2-x^2}{x_{10}^2-x^2}$$ 化简上述式子，可以得到： $$y^2=\frac{2k^2-1}{2k^2+1}(y_{10}^2-x^2)$$ 由于最终双方兵员数均为0，因此有： $$x_{10}+x_{20}=y_{10}+y_{20}$$ 将上述式子代入上式，可以得到： $$x_{10}=\frac{y_{10}^2}{4x_{20}}\left(k^2+1+\sqrt{(k^2+1)^2-\frac{16k^2x_{20}^2}{y_{10}^2}}\right)$$ 这便是威力小的一方需要投入对方兵力的几倍的表达式。

答：亲亲，计算方法如上图所示

答：亲亲。(y^2+1)dx=(2xy+y^2+y^4)dy分离变量,等同于:y^2dx + dx = 2xydy + y^2dy + y^4dyy^2dx - 2xydy - y^2dy - y^4dy = -dx集合相同项:(y^2 - 2xy - y^2 - y^4)dy = -dx简化为:-3y^2dy = -dx积分后:-3/2y^2 = -x + C=> y^2 = (2/3)x - C=> y = sqrt((2/3)x - C)所以,该等式的解为:y = sqrt((2/3)x - C)其中C是常数,具体取值取决于初始条件。

答：亲亲，您好。这里给出 step-by-step 的证明过程:根据条件,双方的兵员变化率分别为:dx/dt = -ax (1) (x方)dy/dt = -by (2) (y方)这里 x, y 分别代表双方的当前兵员数量。将 (1) 和 (2) 集成,得:dx/dt - dy/dt = -a(x - y) (3)将 (3) 的两边同时积分,得:x - y = x0 - y0 - ab(x^2/2 - y^2/2) (4)在最终达到均势状态(x = y), (4) 式简化为:0 = x0 - y0 - ab(x^2/2 - y^2/2) (5)根据条件x0 > y0, (5) 式的唯一解为:b(x0^2 - x^2) = a(y0^2 - y^2) (6)如果一方的威力为另一方的 2倍,即比例系数 a = 2b,那么弱势一方(系数为 b 的一方)需要投入趁劣一方(系数为 2b 的一方) 兵力的几倍才能维持均势?根据等式 (6),设 A 方为弱势一方,B 方为势大一方:A 方: b(x0^2 - x^2) = 2b(y0^2 - y^2) 由于 a = 2bA 方需要投入的兵员数量: x0 = 2√(y0^2)即 A 方需要投入 B 方兵员的 2倍才能达到均势。所以,结论是: 如果一方的威力为另一方的 2倍,弱势一方需要投入对方兵力的 2倍才能维持均势交战。