Question

两个非负级数之和为收敛级数，则两个级数都是收敛的吗

Answer 1

问：两个非负级数之和为收敛级数，则两个级数都是收敛的吗

答：亲，你好 不一定。虽然两个非负级数之和为收敛级数，但是其中一个级数可以是发散的。考虑以下两个级数：a_n = 1/nb_n = 1/n^2显然，这两个级数都是非负的。而它们的和级数是：c_n = a_n + b_n = 1/n + 1/n^2我们可以证明，c_n 是收敛级数。ju.ti来说，我们可以使用 p-级数测试（p-series test）：当 p > 1 时，p-级数 ∑(n=1)∞ 1/n^p 收敛；当 p ≤ 1 时，该级数发散。对于级数 c_n，我们有：c_n = 1/n + 1/n^2 ≤ 1/n + 1/n = 2/n于是，c_n 可以看成是一个 p-级数，其中 p = 1。由于 p ≤ 1，所以根据 p-级数测试，c_n 是发散的。于是，我们可以得出结论：即使两个非负级数之和为收敛级数，其中一个级数也ke.neng.是发散的。

答：需要注意的是，上述结论只适用于非负级数。两个级数中至少有一个是正负混合的，则可以通过调整级数中正负部分的位置，使得它们的和为收敛级数。ju.ti来说，设 a_n 和 b_n 分别是正项级数和负项级数，则我们可以按如下方式调整它们：c_n = max{a_n, -b_n} + min{a_n, -b_n}显然，这个级数的正项部分是 max{a_n, -b_n}，而负项部分是 -min{a_n, -b_n} = max{-a_n, b_n}。由于两个正项级数之和是正项级数，两个负项级数之和也是正项级数，于是 max{a_n, -b_n} 和 max{-a_n, b_n} 都是收敛级数。于是，c_n 是一个收敛级数。

问：n的平方分之n加一是收敛的吗老师

问：怎么证明？

答：n的平方分之n加一是收敛的。

问：为什么呢，那不就是收敛加发散等于收敛了？

问：这是发散的啊老师

答：当极限为0时，级数收敛。于是，我们可以先求出该级数的极限：lim(n→∞) n²/(n+1) = lim(n→∞) n/(1+1/n) = ∞/2 = ∞由于极限不为0，于是该级数发散，也就是说，n的平方分之n加一不收敛。

问：对啊那两个级数之和收敛，两个级数又是非负的，则他们分别就是收敛的呀

答：是的，两个级数之和收敛，而且它们都是非负的，那样这两个级数分别也一定是收敛的。