Question

3.已知数列{an}的前n项和为Sn,+a3=2,+Sn=(n+1)an/2n+数列{bn}的前n项和为+r,b

Answer 1

问：3.已知数列{an}的前n项和为Sn,+a3=2,+Sn=(n+1)an/2n+数列{bn}的前n项和为+r,b

答：（1）证明：因为Sn=2an-3n，所以Sn+1=2an+1-3（n+1），则an+1=2an+1-2an-3，所以an+1=2an+3，所以an+1+3=2（an+3），因为n=1时，a1=S1=2a1-3，所以a1=3，所以a1+3=6，所以数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列；所以an+3=6•2n-1=3•2n，所以an=3•2n-3；（2）解：bn=n3an=n•2n-n，则Tn=（1•21+2•22+…+n•2n）-（1+2+…+n）令Tn′=1•21+2•22+…+n•2n，则2Tn′=1•22+2•23+…+n•2n+1，两式相减可得-Tn′=1•21+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，∴Tn′=（n-1）•2n+1+2，∴Tn=（n-1）•2n+1+2-n(n+1)2．