Question

三角恒等变换公式

Answer 1

三角恒等变换公式是解决三角函数问题的基础，包括和差角公式、积化和差公式、倍角公式等。其中，正弦函数、余弦函数、正切函数的恒等变换公式。
正弦函数：sin(-x)=-sin(x)sin(x+π)=-sin(x)sin(x+2π)=sin(x)sin(x+π/2)=cos(x)sin(x-π/2)=-cos(x)
余弦函数：cos(-x)=cos(x)cos(x+π)=-cos(x)cos(x+2π)=cos(x)cos(x+π/2)=-sin(x)cos(x-π/2)=sin(x)
正切函数：tan(-x)=-tan(x)tan(x+π)=tan(x)tan(x+π/2)=-cot(x)tan(x-π/2)=cot(x)
二倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα；cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)；tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)；cos3α=4cos^3(α)-3cosα
半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2；cos^2(α/2)=(1+cosα)/2；tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)；tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
万能公式：半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]；cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]；tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]；cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]；cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]；sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]；sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]；cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]；cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
三角函数的起源：早期对于三角函数的研究可以追溯到古代，古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同），对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。
喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表，然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关，梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》（SyntaxisMathematica）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法，托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。