Question

可逆矩阵的列向量组线性无关吗

Answer 1

可逆矩阵所对应的列向量组是线性无关的。这是因为可逆矩阵的逆矩阵显然是可逆的，而逆矩阵的定义是，该矩阵与其逆矩阵的乘积为单位矩阵。即，若可逆矩阵为A，则有A×A⁻¹=I。这个等式两边同时左乘A⁻¹，可以得到A⁻¹=I×A⁻¹。这个式子就代表了矩阵A⁻¹的每一列都可以看做是向量A⁻¹中相应位置的列向量上乘以标量1，即A中每一列向量的线性组合。而由于A⁻¹是可逆矩阵，因此其每一列向量都不为0，且任意两个列向量都不相等。所以，可逆矩阵的每一列向量互不相同，所以其列向量组是线性无关的。
使用线性代数的知识进行推导，我们会发现，可逆矩阵的列向量组就是矩阵A的每一列向量，当且仅当该矩阵的行列式不为0时，该矩阵才是可逆的。由于行列式是一种刻画矩阵线性无关性的方法，所以在可逆矩阵中，其列向量组的线性无关性是满足的。
因此，对于任一个可逆矩阵A，其列向量组一定是线性无关的，这也是矩阵在计算和应用中的重要性质之一，例如矩阵的求逆和矩阵方程的解等。