Question

20 将二次积分_0^2((2y-y^2)(x^2+y^2)dx)dy化为极坐标形式的二次积分并计算积

Answer 1

问：20 将二次积分_0^2((2y-y^2)(x^2+y^2)dx)dy化为极坐标形式的二次积分并计算积

答：你好，首先将 x 和 y 表示成极坐标形式：x=rcos\theta, y=rsin\theta由此可得：x^{2}+y^{2}=r^{2}dxdy=rdrd\theta将原式代入，得到：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2} (2r^{3}sin\theta- r^{4}sin\theta)drd\theta对 r 进行积分，得到：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{2}r^{4}sin\theta-\frac{1}{5}r^{5}sin\theta)\Big|_{0}^{2}d\theta化简后可得：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{16}{5}sin\theta)d\theta对 $\theta$ 进行积分，得到：\frac{-16}{5}cos\theta\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}化简后可得：\frac{16}{5}因此，原式的积分值为 \frac{16}{5} 。