Question

设a为n阶方阵,若对任意n阶方阵B,AB=BA恒成立

Answer 1

问：设a为n阶方阵,若对任意n阶方阵B,AB=BA恒成立

答：亲，您好~很高兴为您解答，设a为n阶方阵,若对任意n阶方阵B,AB=BA恒成立的结果如下：可逆矩阵，又称可变矩阵，是指一个n阶方阵a，对任意n阶方阵B，都有AB=BA恒成立。

答：证明：设A为n阶方阵，若对任意n阶方阵B，AB=BA恒成立，则A为可逆矩阵，即A有逆矩阵A-1，由A-1A=AA-1=E，可得A-1=E，即A=A-1-1=E，设c为A的行列式，则有A=cE，即存在c使得A=cE。故证毕。

答：同学，你看这样可以吗。

问：好的

答：证明：由Ax=Ax+μy，Ay=-μx+y可得：A2x=A2x+μAy+μ2yA2y=-μAx-μ2x+Ay即A2x-2Ax+λ2x+μ2y=0，A2y-2Ay+λ2y+μ2x=0又由A2-2A+(λ²+μ²)E=0，可得：A2x-2Ax+(λ²+μ²)x=0，A2y-2Ay+(λ²+μ²)y=0由此可知，A2-2A+(λ²+μ²)E=0成立。

答：解：MN=EmB-BAnEnB=EmB-BmnEnBNM=EmB0EnB=0

答：证明：由于A，B分别为mxn阶，nxm阶矩阵，则有：Em+AB=Em+AEnBEn=Em(En+BEn)En+BA=En+EnBA=En(Em+BAEn)由于En+BEn与Em+BAEn均为nxn阶矩阵，且En+BEn=Em+BAEn，所以有：|Em+AB|=|Em(En+BEn)|=|Em(Em+BAEn)|=|En+BA|即证明了|Em+AB|=|En+BA|

答：证明：由A的秩R(A)=1，可知A的列向量线性相关，即存在非零向量x，y，使得Ax=y，即A=xyT，其中x，y均为n维向量，故有xeRn，yERn，使得A=xyT。

答：有个符号打不出来，我用e代替。

答：证明：由A的秩R(A)=1，可知A的列向量线性相关，即存在非零向量x，使得Ax=0，即A的每一列都是x的线性组合，即A=xv，其中v为A的列向量组成的矩阵，则A²=xv·vx=xv²x，又由A的秩R(A)=1，可知v²=cI，其中c为实数，故A²=xcIx=cAx，即必有cER使得A²=cA.证毕。

答：这是这两小题的答案。