Question

已知sn/n是等差数列,如何证明an是等差数列

Answer 1

要证明数列{an}是等差数列，其中{sn/n}是等差数列，可以按照以下步骤进行证明：
1.根据已知条件，我们知道{sn/n}是一个等差数列。即对于任意的正整数k，有sn/n=a+k*d，其中a是首项，d是公差。
2.首先，我们可以将公式中的n替换成（n+1）得到{sn/（n+1）}=a+k*d。这是因为等差数列的性质中，数列项数增加1后，仍然是等差数列。
3.接下来，我们计算{sn+1/（n+1）}，即前n+1个数的和除以n+1。根据求和的性质，我们有sn+1=sn+an+1，因此{sn+1/（n+1）}=（sn+an+1）/（n+1）。
4.将{sn+1/（n+1）}进一步展开，可以得到{sn+1/（n+1）}=sn/（n+1）+an+1/（n+1）。
5.将步骤2中的等式代入上式，我们得到{sn+1/（n+1）}=（a+k*d）+an+1/（n+1）。
6.化简上式，得到{sn+1/（n+1）}=a+（（n+1）*k*d+an+1）/（n+1）。
7.观察等式右边，可以发现分子（（n+1）*k*d+an+1）是一个常数，记为c。
8.因此，我们可以将上式进一步简化为{sn+1/（n+1）}=a+c/（n+1）。
9.由于a和c都是常数，而{sn+1/（n+1）}得到的结论与公差d无关，所以我们可以得出结论，{an}也是一个等差数列，公差为c/（n+1）。
通过以上的证明，我们可以得出结论，当已知数列{sn/n}是等差数列时，数列{an}也是等差数列，其公差为c/（n+1）。