Question

一个圆内接三角形abc,圆上p点垂直于ab交ab于e点,p垂直于ac交ac于f点,p交于b

Answer 1

问：一个圆内接三角形abc,圆上p点垂直于ab交ab于e点,p垂直于ac交ac于f点,p交于b

答：西姆松定理，自己看奥赛书都有这个的证明 证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.