Question

设Σ是球x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)外侧在第一卦限部分，则∬x^2dydz

Answer 1

问：设Σ是球x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)外侧在第一卦限部分，则∬x^2dydz

答：4πa^4。原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)dS=∫∫(x²+y²+z²)dS+∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS=∫∫a ²dS +0+0+0=a² •4πa²=4πa^4

答：注：1、∫∫(x²+y²+z²)dS=∫∫a ²dS （利用曲面积分可将曲面方程代入）2、∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS=0+0+0 （利用曲面积分的对称性）

答：扩展资料：曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。第一类曲面积分是对面积的曲面积分 。第二类曲面积分是对坐标轴的曲面积分。

答：对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第一类曲面积分的积分元素是面积元素dS,例如：在积分曲面Σ上的对面积的曲面积分：∫∫f(x,y,z)dS；而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在积分曲面Σ上的对坐标平面的曲面积分：∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz。