4设 f(x)=x^2sinx 求f(x)的n阶导数f(x)

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摘要 f(x)=x^2(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^k*x^(2k+1)!/k!+...) (k=0,1,...)=x^3-x^5/3!+x^7/5!-x^9/7!+...+(-1)^k*x^(2k+3)/k!+...(k=0,1,...)所以f^(n)(0)= 0 n为偶数或1; (-1)^k/k!n=2k+3 (k=0,1,...)

咨询记录 · 回答于2022-11-07

4设 f(x)=x^2sinx 求f(x)的n阶导数f(x)

好的

f(x)=x^2(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^k*x^(2k+1)!/k!+...) (k=0,1,...)=x^3-x^5/3!+x^7/5!-x^9/7!+...+(-1)^k*x^(2k+3)/k!+...(k=0,1,...)所以f^(n)(0)= 0 n为偶数或1; (-1)^k/k!n=2k+3 (k=0,1,...)

这什么呀？，都不清晰。

可看成复合函数求导：f（x）=x^y(x)；y(x)=2sin(x)当n等于1。 f ‘（x）=x^[y(x)-1]*(2sin x)'=x^(2sin(x)-1)*(2cos x).因为当x是0时，x^(2sin(x)-1)是0。再次对它求导还是0.。一直是0 。所以最终f的n阶倒数也是0.

这题可用泰勒公式

e^x的n阶导数就是e^x，e^(kx)的n阶导数是k^n e^x，a^x的n阶导数是(ln a)^n a^x，可用换底公式计算，即a^x=e^(x ln a)。f(x)的n阶导数： f(x)=f(x。 )+f(x。 )(x-x。 )+f(x。 )/2!*(x-x。 )^2 ，+f(x。 )/3!*(x-x。)3+…… +f(n)(x。)/n!(x-x。 )^n+Rn(x)泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息。

第五题。

判断题的第三，四题。

3.4错

19个问题采纳率：94.7% 举报这个函数在x=1处是不连续的,当然是不可导的.lim(x→1-)f(x)=lim(x→1+)f(x)=1,但 f(1)=0,所以函数在x=1处是不连续的.这里用到结论 lim(x→0) sinx/x=1.

这个函数在x=1处是不连续的,当然是不可导的.lim(x→1-)f(x)=lim(x→1+)f(x)=1,但 f(1)=0,所以函数在x=1处是不连续的.这里用到结论 lim(x→0) sinx/x=1.

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