Question

17.设二元函数 f(x,y)=3y^2+6xy-x^3+5 ,求f(x,y)的所有极值点和极值.

Answer 1

问：17.设二元函数 f(x,y)=3y^2+6xy-x^3+5 ,求f(x,y)的所有极值点和极值.

问：这个驻点怎么求？

问：联立方程不会

问：急死了

问：麻烦快递回复！

答：您好亲，根据您的问题描述解答如下：给出的二元函数为:f(x,y)=3y^2+6xy-x^3+5求极值点和极值:1. 求first order partial derivatives: f_x=-3x^2+6y f_y=6x+6y 2. 求partial derivatives相等: -3x^2+6y=0 6x+6y=0 解得: x=0 , y=-1 或 x=-2 , y=0 3. 检查这些点是否为极值点: (0,-1): f(0,-1) = 5 (极大值) (-2,0): f(-2,0) = -1 (极小值) 4. 极大值和极小值: 最大值: f(0,-1) = 5 最小值: f(-2,0) = -1综上,该二元函数的所有极值点是(0,-1)和(-2,0), 对应极大值5和极小值-1.f(x,y)的所有极值点是: (0,-1) 和 (-2,0) 极大值是: 5 极小值是: -1

问：怎么求出来的？

问：0，-1，-2，0

问：这四个点？

问：麻烦详细说一下

问：我就这地方不会

答：对于一个二元函数f(x,y),要求其驻点,主要需要完成以下步骤:1. 求出f(x,y)的偏导数f_x和f_y,确定f(x,y)的纯凭标函数和部分导数是否相等,从而得出候选驻点。 2. 围绕每个候选驻点([x_0, y_0]),构造方程式:f(x,y)=f(x_0,y_0)+(f_x(x_0,y_0))(x-x_0)+(f_y(x_0,y_0))(y-y_0) 其中(x_0,y_0)为候选驻点。3. 检验候选驻点是否满足驻点的条件: 沿x,y任意方向都存在极小或极大。如果存在,则(x_0,y_0)为驻点,否则不是驻点。4. 依据条件判断,确定出所有的驻点。具体步骤如下:1) 根据题中给出的f(x,y)求出: f_x=-3x^2+6y f_y=6x+6y 当f_x=0且f_y=0时,有: x=0, y=-1 或 x=-2, y=0 所以有两个候选驻点:(0,-1)和(-2,0)2) 构造方程式: f(x,y)=5+(6)(x-0)+(6)(y+1) (candidate:(-2,0)) f(x,y)=-1+(-3)(x+2)+(6)(y-0) (candidate:(0,-1)) 3) 候选驻点(-2,0)沿x,y方向都存在极小,所以它是真实的驻点。 候选驻点(0,-1)沿x方向存在极大,沿y方向存在极大,所以它也是真实的驻点。所以,该二元函数的两个驻点是: (-2,0)和(0,-1)驻点的符号取决于方向,需要结合驻点的有界邻域来判断。在这里,(-2,0)为局部最小值, 所以标记为负号。 (0,-1)为局部最大值, 所以标记为正号。

答：您如果有什么比较不懂不清楚可再咨询老师！

问：不懂不懂！

答：举个简单例子来解释驻点的概念:例如考虑 f(x,y)=x^2-y。这个二元函数的曲面实际上是一个阿基斯拱形(horseshoe shape)。问:这个二元函数在实数平面上有哪些驻点?首先求偏导数: f_x=2x 、 f_y=-1 。令它们等于0可以得到:x=0、y=任意值。所以(0,y)是候选的驻点。围绕每个候选点(0,y_0)构造方程:f(x,y)=f(0,y_0)+(f_x)(x)+(f_y)(y) 这个方程是 一条平行于x,y轴的直线。检验驻点条件:随着x,y增大/减小,值 f(x,y)增加/减小。所以(0,y)是真正的驻点,它在任何方向上都存在极大或极小。所以,该二元 functions 的驻点集合是{(0,y)|y∈R} ,它们都对应于功能值f(0,y)=-y。希望这个简单例子能帮助你理解什么是驻点,以及如何去找出二元函数的驻点。如果还有不明白的地方,可以再问我!驻点的概念对于理解二元函数非常重要,我很乐意进一步解释。