Question

14.已知线性规划问题-|||- minW=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x54 2x1-

Answer 1

问：14.已知线性规划问题-|||- minW=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x54 2x1-

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦x2+3x3+x4+2x5≥6x1+2x2+x3-x4+4x5≥4x1,x2,x3,x4,x5≥0其中|||代表绝对值，该线性规划问题是一个混合整数线性规划问题，因为有些限制条件中的变量是整数，而有些是连续变量。若要通过线性规划求解该问题，需要使用整数线性规划算法，如分枝定界法、割平面法等。

答：(1) 生产可能集表示了所有决策单元在同一投入产出指标下的最大化产出或最小化投入的可能性。根据表2，我们可以得到以下的生产可能集：生产可能集(2) CR模型是一种基于线性规划的相对效率评价方法，目标是最小化所有决策单元的投入产出比率中的最大值。对于DMU2，我们可以列出以下的线性规划模型：最小化 $\theta$约束条件：$3x_{11} + 3x_{12} + 2x_{13} \leq \theta$$x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq \theta$$x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq \theta$$x_{41} + x_{42} + x_{43} \leq \theta$$x_{11}, x_{21}, x_{31}, x_{41} \geq 0$$x_{12}, x_{22}, x_{32}, x_{42} \geq 0$$x_{13}, x_{23}, x_{33}, x_{43} \geq 0$其中，$x_{ij}$ 表示决策单元 $i$ 在指标 $j$ 上的投入产出比率，$\theta$ 表示所有决策单元的相对效率值。通过求解这个线性规划模型，我们可以得到DMU2的相对效率值为 $\frac{1}{1.5}=0.67$。

答：根据线性规划模型的性质，最优解 $X^{\circ}$ 满足 $\forall X \in P, C^TX^{\circ} \geq C^TX$，即最优解的目标函数值是所有可行解中最大的。同时，最优解 $X^{\circ}$ 满足 $A X^{\circ} = b$，即最优解是满足约束条件的可行解。假设 $(C-C^{\circ})(X-X^{\circ}) < 0$，则必存在一个分量 $i$，使得 $(C_i - C_i^{\circ})(X_i-X_i^{\circ}) 0$。不妨设 $X_i > X_i^{\circ}$，则有：$C_iX - C_iX^{\circ} - C_i^{\circ}X + C_i^{\circ}X^{\circ} < 0$$C^TX - C^TX^{\circ} - C_i^{\circ}(X - X^{\circ}) < 0$$C^TX < C^TX^{\circ} + C_i^{\circ}(X - X^{\circ})$由于 $X$ 是可行解，因此有 $AX = b$，即 $A(X - X^{\circ}) = 0$。两边同时乘以 $C_i^{\circ}$，得到：$C_i^{\circ}AX = C_i^{\circ}b$$C_i^{\circ}X = C_i^{\circ}X^{\circ}$将上式代入前面的不等式中，得到：$C^TX < C^TX^{\circ} + C_i^{\circ}(C_i - C_i^{\circ})(X_i - X_i^{\circ})$由于 $(C_i - C_i^{\circ})(X_i - X_i^{\circ}) < 0$，因此 $C_i - C_i^{\circ}$ 和 $X_i - X_i^{\circ}$ 的符号相反，从而 $C_i^{\circ}(C_i - C_i^{\circ})(X_i - X_i^{\circ}) < 0$。因此，上式左边小于右边，与最优解的定义矛盾。因此，假设不成立，即 $(C-C^{\circ})(X-X^{\circ}) \geq 0$。证毕。