Question

非齐次线性方程中不同的解一定线性无关吗？有没有线性相关的解？

Answer 1

问：非齐次线性方程中不同的解一定线性无关吗？有没有线性相关的解？

答：设ξ,η是非齐次线性方程组ax=b的两个不同的解，且线性相关，则存在非零实数k≠1，使得ξ=kη，所以aξ=a(kη)=k(aη)。因为aξ=aη=b，所以b=kb，(k-1)b=0。因为k-1≠0，b≠0，所以(k-1)b≠0。矛盾。所以非齐次线性方程组的任意两个不同解线性无关。

问：那多个不同的解也线性无关吗！

答：肯定啊，都是互斥的，怎么相关

问：好吧，准确的说应该就是非齐次线性方程组的任意n个不同解线性无关吧

答：是的

问：那非齐次方程组线性无关的解的个数该怎么求呢

答：非齐次线性方程组线性无关的解的个数应该等于与其对应的齐次线性方程组的个数加一

问：哦，那就是n－r(A)＋1吧？齐次是n－r(A)

答：是的

答：就是这样

问：那你再说下两个方程组同解的充要条件吧

答：互为线性组合

问：秩的关系是什么？

答：秩是线性代数术语。在线性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。

答：在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。