2.没A,B属于C^(mxn)，A和B的特征值分别是入1,入2，…,入n和μ1,μ2，…，μn，用Schur分解证明：
如果 AB=BA,则A+B的特征值为入1+μ1，入2+μ2，……，入n+μn.

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志志老师

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摘要根据Schur分解，对于矩阵A和B，存在正交矩阵Q和上三角矩阵T，使得$A=Q^TQ和和和B=Q^SQ，其中，其中，其中Q^*是是是Q的共轭转置，且的共轭转置，且的共轭转置，且T和和和S$都是上三角矩阵。现在我们假设AB=BAAB=BAAB=BA，那么有：(A+B)(A+B)∗=A2+AB+BA+B2(A+B)(A+B)∗=A2+AB+BA+B2(A+B)(A+B)^*=A^2+AB+BA+B^2由于AAA和BBB都是上三角矩阵，所以ABABAB和BABABA也是上三角矩阵，因此A2,B2,ABA2,B2,ABA^2, B^2, AB和BABABA都是上三角矩阵。所以(A+B)(A+B)∗(A+B)(A+B)∗(A+B)(A+B)^*也是上三角矩阵。另一方面，我们可以将AAA和BBB的Schur分解代入上式，得到：\begin{aligned} &(A+B)(A+B)^* \ &= (Q^TQ+Q^SQ)(Q^TQ+Q^SQ)^* \ &= (T+S)(T+S)^* \ &= T^2+TS+ST+S^2 \end{aligned}由于TTT和SSS都是上三角矩阵，所以TSTSTS和STSTST也是上三角矩阵。因此T2+TS+ST+S2T2+TS+ST+S2T^2+TS+ST+S^2也是上三角矩阵。现在我们将(A+B)(A+B)∗(A+B)(A+B)∗(A+B)(A+B)^*和T2+TS+ST+S2T2+TS+ST+S2T^2+TS+ST+S^2的特征值进行比较。由于TTT和SSS都是上三角矩阵，它们的对角线上的元素就是它们的特征值。因此，我们只需要比较对角线上的元素即可。由于AAA和BBB的特征值分别为λ1,λ2,...,λnλ1,λ2,...,λnλ_1, λ_2, ..., λ_n和μ1,μ2,...,μnμ1,μ2,...,μnμ_1, μ_2, ..., μ_n，所以TTT和SSS的对角线上的元素分别是λ1,λ2,...,λnλ1,λ2,...,λnλ_1, λ_2, ..., λ_n和μ1,μ2,...,μnμ1,μ2,...,μnμ_1, μ_2, ..., μ_n。因此，T2+TS+ST+S2T2+TS+ST+S2T^2+TS+ST+S^2的对角线上的元素就是λ2i+λiμi+μiλi+μ2iλi2+λiμi+μiλi+μi2λ_i^2

咨询记录 · 回答于2023-06-03