Question

A^3+2A^2+3A的特征值

Answer 1

问：A^3+2A^2+3A的特征值

答：您好。很高兴为您解答。我们先来证明一个简单的：设λ是方阵A的特征值，则λ²是A²的特征值。证明：因λ是方阵A的特征值，故有p≠0使Ap=λp，于是A²p=A(Ap)=A(λp)=λ(Ap)=λ²p，所以λ²是A²的特征值。同理可以证明若λ是方阵A的特征值，则λ³是A³的特征值，λ^3-λ^2+3是A^3-2A^2+3E的特征值更一般的结论就是：若λ是方阵A的特征值，则多项式f(λ)是f(A)的特征值。

答：0，1或者-1，都有可能。设A*x=lamda*x，其中lamda为特征值，而x为对应非零特征向量。则因为A^3=A，所以A*x=A^3*x=A^2*(A*x)=A^2*(lamda*x)=lamda*(A^2*x)=lamda*A*(A*x)=lamda*A*lamda*x=lamda^2*A*x=lamda^2*lamda*x=lamda^3*x。所以对于该非零特征向量，lamda*x=lamda^3*x，即(lamda-lamda^3)*x=0，因为x为零，所以必须lamda=lamda^3，纵观复数域，只有01,-1满足该条件。0,1,-1这三个值都有可能取到，比如取A为3维对角矩阵，对角线上分别是0,1,-1，则容易验证A满足A=A^3的条件，而且A的三个特征值分别就是0,1,-1。