用初等变换法将下列二次型化为标准型. f(x1，x2，x3)=2x1x2－4x1x3+10x2x3
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您好！要用初等变换法将下列二次型化为标准型，需要按照以下步骤进行：
1. 将二次型中的 $x_{1}$、$x_{2}$ 和 $x_{3}$ 的系数分别设为 $a$、$b$ 和 $c$。于是原来的二次型可以写成 $ax_{1}^{2}+bx_{2}^{2}+cx_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{3}+10x_{2}x_{3}$ 的形式。
2. 将 $a$、$b$ 和 $c$ 的值代入到标准型中，得到新的二次型。标准型的形式为 $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$。
3. 使用初等变换法对新的二次型进行变换，使得 $a$、$b$ 和 $c$ 的值满足 $a>0$、$b>0$ 和 $c>0$ 的条件。例如，对于上述二次型，$a=2$、$b=10$ 和 $c=-4$，因此可以使用初等变换法将其化为标准型：
$\begin{aligned}
&2x_{1}^{2}+10x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{3}+10x_{2}x_{3} \\
&\Rightarrow 2\left(x_{1}-\frac{1}{2}x_{3}\right)^{2}+10\left(x_{2}+\frac{1}{5}x_{3}\right)^{2}+\frac{9}{5}x_{3}^{2}
\end{aligned}$经过变换后，新的二次型的标准型形式为：
$2\left(x_{1}-\frac{1}{2}x_{3}\right)^{2}+10\left(x_{2}+\frac{1}{5}x_{3}\right)^{2}+\frac{9}{5}x_{3}^{2}$可以看到，这个新的二次型的系数 $a=2$、$b=10$ 和 $c=\frac{9}{5}$，满足 $a>0$、$b>0$ 和 $c>0$ 的条件。因此，这个新的二次型就是一个标准型。
咨询记录 · 回答于2024-01-11
f(x1，x2，x3)=2x1x2－4x1x3+10x2x3
1. 将二次型中的 $x_{1}$、$x_{2}$ 和 $x_{3}$ 的系数分别设为 $a$、$b$ 和 $c$。于是原来的二次型可以写成 $ax_{1}^{2}+bx_{2}^{2}+cx_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{3}+10x_{2}x_{3}$ 的形式。
2. 将 $a$、$b$ 和 $c$ 的值代入到标准型中，得到新的二次型。标准型的形式为 $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$。
3. 使用初等变换法对新的二次型进行变换，使得 $a$、$b$ 和 $c$ 的值满足 $a>0$、$b>0$ 和 $c>0$ 的条件。例如，对于上述二次型，$a=2$、$b=10$ 和 $c=-4$，因此可以使用初等变换法将其化为标准型：
$\begin{aligned}
&2x_{1}^{2}+10x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{3}+10x_{2}x_{3} \\
&\Rightarrow 2\left(x_{1}-\frac{1}{2}x_{3}\right)^{2}+10\left(x_{2}+\frac{1}{5}x_{3}\right)^{2}+\frac{9}{5}x_{3}^{2}
\end{aligned}$经过变换后，新的二次型的标准型形式为：
$2\left(x_{1}-\frac{1}{2}x_{3}\right)^{2}+10\left(x_{2}+\frac{1}{5}x_{3}\right)^{2}+\frac{9}{5}x_{3}^{2}$可以看到，这个新的二次型的系数 $a=2$、$b=10$ 和 $c=\frac{9}{5}$，满足 $a>0$、$b>0$ 和 $c>0$ 的条件。因此，这个新的二次型就是一个标准型。【摘要】
用初等变换法将下列二次型化为标准型.
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