Question

设f(x)在【0,1】连续且满足f(x)=x^2+积分0到1 xf(x)dx,求f(x)

Answer 1

问：设f(x)在【0,1】连续且满足f(x)=x^2+积分0到1 xf(x)dx,求f(x)

答：亲亲，非常荣幸为您解答我们先对f(x)f(x)在[0,1][0,1]上的积分部分进行化简。∫01xf(x)dx=∫01x(x2+∫01xf(x)dx)dx=∫01x3dx+∫01x∫01xf(x)dxdx=14+∫01∫01x2f(x)dxdx=14+∫01f(x)(∫01x2dx)dx=14+13∫01x2f(x)dx∫01​xf(x)dx​=∫01​x(x2+∫01​xf(x)dx)dx=∫01​x3dx+∫01​x∫01​xf(x)dxdx=41​+∫01​∫01​x2f(x)dxdx=41​+∫01​f(x)(∫01​x2dx)dx=41​+31​∫01​x2f(x)dx​因此，原式可以进一步化简为：f(x)=x2+∫01xf(x)dx=x2+34∫01x2f(x)dxf(x)​=x2+∫01​xf(x)dx=x2+43​∫01​x2f(x)dx​移项得到：13∫01x2f(x)dx=43(f(x)−x2)31​∫01​x2f(x)dx​=34​(f(x)−x2)​因为f(x)f(x)在[0,1][0,1]上连续，所以f(x)−x2f(x)−x

答：因为f(x)f(x)在[0,1][0,1]上连续，所以f(x)−x2f(x)−x2也是连续的，设g(x)=f(x)−x2g(x)=f(x)−x2，则有：13∫01x2g(x)dx=43g(x)31​∫01​x2g(x)dx​=34​g(x)​即：∫01x2g(x)dx=4g(x)∫01​x2g(x)dx​=4g(x)​由于x2x2在[0,1][0,1]上非负，且f(x)f(x)是连续函数，根据积分中值定理，存在ξ∈[0,1]ξ∈[0,1]，使得：∫01x2g(x)dx=g(ξ)∫01x2dx=13g(ξ)∫01​x2g(x)dx​=g(ξ)∫01​x2dx=31​g(ξ)​所以有：13g(ξ)=4g(ξ)31​g(ξ)=4g(ξ)解得：g(ξ)=0g(ξ)=0故f(x)−x2=0f(x)−x2=0，即：f(x)=x2f(x)=x2所以，原式的解为f(x)=x2f(x)=x2。

答：~~数学学习技巧：课前预习。对于数学这门学科，在课前预习是非常有必要的，不然上课老师传授给你的知识你就没有办法在规定的时间内学好、学透。日积月累，你的数学基础就会变得不扎实，那在今后的拔高训练中，你无疑是两眼一黑。课时注意力高度集中。数学这么科目是非常讲究经验的，一般既快、准确率又高的方法都是前人终结出来的。而老师无非就是掌握了许多这样方法的人，将在上课时传授给我们。如若上课注意力不够集中，那么我们就会漏掉这些方法，导致自己会走许多弯路。得不偿失！必要的课后练习。数学就像一个工具，如果没有平时的练习，那么你就会有不能得心应手的感觉。可能就会照成自信心的遗失，影响但今后的学习中。所以我们应该在课后做些习题，来验证老师在课堂上传授给我们的知识点。~