设f(x)在【0,1】连续且满足f(x)=x^2+积分0到1 xf(x)dx,求f(x)
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亲亲,非常荣幸为您解答我们先对f(x)f(x)在[0,1][0,1]上的积分部分进行化简。∫01xf(x)dx=∫01x(x2+∫01xf(x)dx)dx=∫01x3dx+∫01x∫01xf(x)dxdx=14+∫01∫01x2f(x)dxdx=14+∫01f(x)(∫01x2dx)dx=14+13∫01x2f(x)dx∫01xf(x)dx=∫01x(x2+∫01xf(x)dx)dx=∫01x3dx+∫01x∫01xf(x)dxdx=41+∫01∫01x2f(x)dxdx=41+∫01f(x)(∫01x2dx)dx=41+31∫01x2f(x)dx因此,原式可以进一步化简为:f(x)=x2+∫01xf(x)dx=x2+34∫01x2f(x)dxf(x)=x2+∫01xf(x)dx=x2+43∫01x2f(x)dx移项得到:13∫01x2f(x)dx=43(f(x)−x2)31∫01x2f(x)dx=34(f(x)−x2)因为f(x)f(x)在[0,1][0,1]上连续,所以f(x)−x2f(x)−x
咨询记录 · 回答于2023-06-03
设f(x)在【0,1】连续且满足f(x)=x^2+积分0到1 xf(x)dx,求f(x)
亲亲,非常荣幸为您解答我们先对f(x)f(x)在[0,1][0,1]上的积分部分进行化简。∫01xf(x)dx=∫01x(x2+∫01xf(x)dx)dx=∫01x3dx+∫01x∫01xf(x)dxdx=14+∫01∫01x2f(x)dxdx=14+∫01f(x)(∫01x2dx)dx=14+13∫01x2f(x)dx∫01xf(x)dx=∫01x(x2+∫01xf(x)dx)dx=∫01x3dx+∫01x∫01xf(x)dxdx=41+∫01∫01x2f(x)dxdx=41+∫01f(x)(∫01x2dx)dx=41+31∫01x2f(x)dx因此,原式可以进一步化简为:f(x)=x2+∫01xf(x)dx=x2+34∫01x2f(x)dxf(x)=x2+∫01xf(x)dx=x2+43∫01x2f(x)dx移项得到:13∫01x2f(x)dx=43(f(x)−x2)31∫01x2f(x)dx=34(f(x)−x2)因为f(x)f(x)在[0,1][0,1]上连续,所以f(x)−x2f(x)−x
因为f(x)f(x)在[0,1][0,1]上连续,所以f(x)−x2f(x)−x2也是连续的,设g(x)=f(x)−x2g(x)=f(x)−x2,则有:13∫01x2g(x)dx=43g(x)31∫01x2g(x)dx=34g(x)即:∫01x2g(x)dx=4g(x)∫01x2g(x)dx=4g(x)由于x2x2在[0,1][0,1]上非负,且f(x)f(x)是连续函数,根据积分中值定理,存在ξ∈[0,1]ξ∈[0,1],使得:∫01x2g(x)dx=g(ξ)∫01x2dx=13g(ξ)∫01x2g(x)dx=g(ξ)∫01x2dx=31g(ξ)所以有:13g(ξ)=4g(ξ)31g(ξ)=4g(ξ)解得:g(ξ)=0g(ξ)=0故f(x)−x2=0f(x)−x2=0,即:f(x)=x2f(x)=x2所以,原式的解为f(x)=x2f(x)=x2。
~~数学学习技巧:课前预习。对于数学这门学科,在课前预习是非常有必要的,不然上课老师传授给你的知识你就没有办法在规定的时间内学好、学透。日积月累,你的数学基础就会变得不扎实,那在今后的拔高训练中,你无疑是两眼一黑。课时注意力高度集中。数学这么科目是非常讲究经验的,一般既快、准确率又高的方法都是前人终结出来的。而老师无非就是掌握了许多这样方法的人,将在上课时传授给我们。如若上课注意力不够集中,那么我们就会漏掉这些方法,导致自己会走许多弯路。得不偿失!必要的课后练习。数学就像一个工具,如果没有平时的练习,那么你就会有不能得心应手的感觉。可能就会照成自信心的遗失,影响但今后的学习中。所以我们应该在课后做些习题,来验证老师在课堂上传授给我们的知识点。~