Question

微分通解怎么求

Answer 1

用通解公式。

如果右边为多项式，则特解就设为次数一样的多项式。

如果右边为多项项乘以e＾（ax）的形式，那就要看这个a是不是特征根。

如果a不是特征根，那就将特解设为同次多项式乘以e＾（ax）。

如果a是一阶特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x。

如果a是n重特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以x＾n。

f（x）的形式是e＾（λx）＊P（x）型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）

则y＊＝x＾k＊Q（x）＊e＾（λx）（注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²＋2x，则设Q（x）为ax²＋bx＋c，abc都是待定系数）。

1、若λ不是特征根k＝0y＊＝Q（x）＊e＾（λx）。

2、若λ是单根k＝1y＊＝x＊Q（x）＊e＾（λx）。

3、若λ是二重根k＝2y＊＝x²＊Q（x）＊e＾（λx）（注：二重根就是上面解出r1＝r2＝λ）

f（x）的形式是e＾（λx）＊P（x）cosβx或e＾（λx）＊P（x）sinβx。

4、若α＋βi不是特征根，y＊＝e＾λx＊Q（x）（Acosβx＋Bsinβx）

5、若α＋βi是特征根，y＊＝e＾λx＊x＊Q（x）（Acosβx＋Bsinβx）（注：AB都是待定系数）

六种常见的常微分方程通解：

1、一阶微分方程的普遍形式。

一般形式：F（x，y，y＇）＝0。

标准形式：y＇＝f（x，y）。

主要的一阶微分方程的具体形式。

2、可分离变量的一阶微分方程。

3、齐次方程。

4、一阶线性微分方程。

5、伯努利微分方程。

6、全微分方程。