已知函数f(x)=ax+1n(x-1) (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若a＞2，在x∈(3/2，+∞)内存在不等实数X1，X2，使得f(X1)+f(X2)=8a，证明X1＋X2<4

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教育静纯老师

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摘要亲亲

，很高兴为您解答。(1) 要确定函数 f(x) = ax + ln(x - 1) 的单调区间，需要分别考虑函数的一阶导数和定义域。首先，求函数 f(x) 的导数：f'(x) = a + 1 / (x - 1)由于导数存在定义，分母 x - 1 不等于零，因此定义域为 x ≠ 1。接下来，分析导数 f'(x) 的正负性。当 a > 0 时，导数 f'(x) 的正负性与 1 / (x - 1) 相同。当 x > 1 时，1 / (x - 1) > 0，因此 f'(x) > 0；当 x < 1 时，1 / (x - 1) < 0，因此 f'(x) 0。所以当 a > 0 时，函数 f(x) 在区间 (1, +∞) 上是递增的。当 a 0 时，导数 f'(x) 的正负性与 1 / (x - 1) 相反。当 x > 1 时，1 / (x - 1) > 0，因此 f'(x) < 0；当 x < 1 时，1 / (x - 1) 0，因此 f'(x) > 0。所以当 a 0 时，函数 f(x) 在区间 (1, +∞) 上是递减的。综上所述，函数 f(x) = ax + ln(x - 1) 的单调区间为：(1) 当 a > 0 时，单调递增区间为 (1, +∞)；(2) 当 a < 0 时，单调递减区间为 (1, +∞)。