Question

-4.已知x+y=2,求T=(x^2+y^2)/((x^2+1)(y^2+4))的最值

Answer 1

问：-4.已知x+y=2,求T=(x^2+y^2)/((x^2+1)(y^2+4))的最值

问：对

问：快点解答

答：大哥，别催呀

答：这不是解答的了

答：首先，我们可以将分式 T 化简一下：T = (x^2 + y^2)/((x^2+1)(y^2+4))= [(x^2+1)+(y^2+4)-5]/((x^2+1)(y^2+4))= [((x^2+1)/(y^2+4))+((y^2+4)/(x^2+1))-5/((x^2+1)(y^2+4))]由于 x+y=2 ，我们可以对原式进行变形：(x-1)^2 + (y-1)^2 = x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = x^2 + y^2 - 2

答：T = (a/b + b/a - 5/(ab))考虑使用 AM-GM 不等式来求解这个问题。我们有：a/b + b/a >= 2所以，T >= 2 - 5/(ab)

答：接下来，我们需要找到 ab 的最小值。根据 AM-GM 不等式，有：(√ab)^2 <= ((a+b)/2)^2 = (x^2+y^2+5)/4因此，ab <= (x^2+y^2+5)/4又由于 (x^2+y^2)=(x+y)^2-2xy=4-2xy ，所以ab <= (9-2xy)/4

答：现在，我们已经得出了 ab 的最小值，将其代入到 T 中，可以得到：T >= 2 - 5/(9-2xy)因此，要使 T 最大化，我们需要让 xy 尽可能的小。由于 x+y=2 ，因此当且仅当 x=y=1 时，xy 取到最小值。此时，ab = (x^2+1)(y^2+4) = 5因此，T 的最大值为：Tmax = 2 - 5/5 = 1因此，当 x=y=1 时，T 取得最大值 1。

答：快点看啊，干嘛了

答：这又不急了

问：4.已知x+y=2,求T=(x^2+y^2)/((x^2+1)(y^2+4))的最值

答：大哥，还是这道题啊

答：上面给你不是解答了

答：能不能看看

问：这道题

问：看了

答：由已知 x + y = 2 可以得到 y = 2 - x。将 y 代入 T 中，可得：T = [x^2 + (2 - x)^2] / [(x^2 - 1)(4 - x^2)]化简 T 后，有：T = [2x^2 - 4x + 4] / [(1 - x)(x + 2)(2 + x)]对 T 求导数，并令其等于 0，可得：

答：[(1 - x)(x + 2)(2x - 4) - (2x^2 - 4x + 4)(-2 + x)] / [(1 - x)^2(x + 2)^2(2 + x)^2] = 0经过简化、合并同类项和移项后，可得到一个三次方程：3x^3 - 10x^2 + 12x - 8 = 0该方程的解为 x ≈ -0.228，x ≈ 1.364，x ≈ 1.864。为了确定其中的最大值或最小值，需要通过二阶导数测试来判断。对 T 进行二次求导后，有：

答：T''(x) = -24x(x - 1)(x - 2) / [(1 - x)^3(x + 2)^3(2 + x)^3]当 x -0.228 时，T''(x) > 0，T(x) 在该区间内是下凸函数，故 T(x) 在该区间内取得最小值。当 -0.228 < x < 1.364 时，T''(x) 0，T(x) 在该区间内是上凸函数，故 T(x) 在该区间内取得最大值。当 x > 1.864 时，T''(x) > 0，T(x) 在该区间内是下凸函数，故 T(x) 在该区间内取得最小值。因此，通过计算和二阶导数测试可以得知，在区间 [-0.228, 1.364] 上，T(x) 取得最大值；在其他区间上，T(x) 取得最小值。此时，T(x) 的最大值为约等于 2.708。