Question

3.设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=(kxy,0<y<x<1其它(1)求常数k;(2)求边缘概率（3）x和y独立吗？（4）求p{X+Y<1}

Answer 1

问：3.设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=(kxy,0

答：(1) 联合密度函数在定义域内进行积分，应该等于1，即∫∫f(x,y)dxdy = 1由于0

问：你好，能加个微信吗？还有其他问题想咨询下。可以付费

答：根据题意，我们需要求出随机变量Y的概率密度函数，并计算其方差。 （1）首先，根据Y = -2X + 1，我们可以得到X = (-Y+1)/2。因此，我们可以将X的概率密度函数转化为Y的概率密度函数，如下所示： fy(y) = fx((-y+1)/2) / |d/dy((-y+1)/2)| 注意到当y -1 或 y>7时，fy(y) = 0，因此只需要考虑-1 ≤ y ≤ 7的范围。在这个范围内，我们可以将fy(y)表示为： fy(y) = fx((-y+1)/2) / 2 当y在[-1, 7]区间内时，有：-1 ≤ (-y+1)/2 ≤ 4 因此，X的概率密度函数在这个区间内是fx(x) = x/8，于是有： fy(y) = fx((-y+1)/2) / 2 = [(-y+1)/2]/8 = (1-y)/16 因此，随机变量Y的概率密度函数为： fy(y) = (1-y)/16， -1 ≤ y ≤ 7 （2）根据定义，随机变量Y的方差为： D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 首先，我们需要计算E(Y)。根据定义，随机变量Y的期望值为： E(Y) = ∫(-1)^7 y fy(y) dy 将fy(y)代入上式，可以得到： E(Y) = ∫(-1)^7 y (1-y)/16 dy 化简并计算上式，可以得到： E(Y) = 3/2 接下来，我们需要计算E(Y^2)。根据定义，随机变量Y的二阶矩为： E(Y^2) = ∫(-1)^7 y^2 fy(y) dy 将fy(y)代入上式，可以得到： E(Y^2) = ∫(-1)^7 y^2 (1-y)/16 dy 化简并计算上式，可以得到： E(Y^2) = 119/20 将E(Y)和E(Y^2)代入方差的公式中，可以得到： D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 119/20 - (3/2)^2 = 11/20 因此，随机变量Y的方差为11/20。

答：可以尽量发文字吗？图片有时候识别不出来

答：（1）在Y=2的条件下，X的取值只能是1或2，因此我们可以计算在Y=2的条件下，X取不同值的概率。 P(X=1|Y=2) = P(X=1,Y=2) / P(Y=2) = 0.10 / (0.10+0.18) = 5/14 P(X=2|Y=2) = P(X=2,Y=2) / P(Y=2) = 0.18 / (0.10+0.18) = 9/14 因此，在Y=2的条件下，X的分布律为：X=1的概率为5/14，X=2的概率为9/14。 （2）p{X≤2|Y≤2}表示在Y≤2的条件下，X≤2的概率。根据全概率公式，我们可以计算P(Y≤2)和P(X≤2,Y≤2)，然后使用贝叶斯公式计算p{X≤2|Y≤2}。 P(Y≤2) = P(X≤2,Y=1) + P(X≤2,Y=2) = 0.12+0.10+0.18+0 = 0.40 P(X≤2,Y≤2) = P(X=1,Y=1) + P(X=2,Y=1) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=2) = 0.12+0.18+0.10+0 = 0.40 因此，有：p{X≤2|Y≤2} = P(X≤2,Y≤2) / P(Y≤2) = 0.40 / 0.40 = 1 因此，在Y≤2的条件下，X≤2的概率为1，也就是说，知道了Y≤2的条件下，X≤2一定发生。 （3）要计算W=X+Y的分布律，我们可以列出所有可能的取值和它们的概率。 当W=2时，有P(X=1,Y=1)=0.12 当W=3时，有P(X=1,Y=2)=0.10和P(X=2,Y=1)=0.18 当W=4时，有P(X=1,Y=3)=0.28，P(X=2,Y=2)=0和P(X=3,Y=1)=0 当W=5时，有P(X=2,Y=3)=0.12和P(X=3,Y=2)=0.15 当W=6时，有P(X=3,Y=3)=0.05 因此，W=X+Y的分布律为： W=2的概率为0.12 W=3的概率为0.10+0.18=0.28 W=4的概率为0.28+0+0=0.28 W=5的概率为0.12+0.15=0.27 W=6的概率为0.05

答：这个图拍清楚一点哦，我这边识别不出来，