Question

正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是6和4,H是AE中点,连接HF,则AE的最小值

Answer 1

问：正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是6和4,H是AE中点,连接HF,则AE的最小值

答：在正方形ABCD和正方形CEFG中，AB=BC=CD=DA=6，CE=EF=FG=GC=4。设AE的长度为x，那么HE的长度即为(6-x)/2。连接HF，我们可以得到一个向量HF，其大小为sqrt((6-x)/2)2 + 42)，即：HF = sqrt((6-x)^2/4 + 16)而AE的大小则为HE + EA：AE = (6-x)/2 + 6 = 3 + 3x/2因此，要求AE的最小值，就需要求HF的最小值。对于任意实数x，我们有以下恒等式：(6-x)^2/4 + 16 = (x-2)^2/4 + (x+4)^2/4 + 20其中等号两边的表达式都是 HF 的平方，第一个式子表示 HF 的平方可以由交点 H 按照勾股定理计算而来，而第二个式子表示 HF 的平方可以根据向量的定义和平面几何的知识使用向量加减法、长度公式等计算而来。我们可以简化这个式子，得到：(x-2)^2/4 + (x+4)^2/4 + 20 = x^2/2 + 6x + 6要让HF最小，就要让上式右边的值最小。对于二次函数 y = x^2/2 + 6x + 6，其最小值出现在自变量 x 的取值为 -b/a = -6/1 = -6 的位置。因此，HF的最小值为：HF = sqrt((6-(-6))^2/4 + 16) = 2*sqrt(13)因此，AE的最小值为：AE = 3 + 3x/2 >= 3 + 3*(-6)/2 = -3