Question

高数题问一问

Answer 1

问：高数题问一问

答：原图发给老师看一下

问：需要过程 谢谢

答：两题吗

问：一共十道

答：根据幂函数积分的公式，我们可以得出以下解答：∫(1/4)cos^4(x)dx + c我们可以使用三角恒等式将cos^4(x)表示为(cos^2(x))^2，然后再次使用三角恒等式将cos^2(x)表示为(1+cos(2x))/2，得到以下式子：∫(1/4)(1/2)(1+cos(2x))^2dx + c化简这个式子可以得到：∫(1/8)(1+2cos(2x)+cos^2(2x))dx + c使用余弦的平方和恒等式cos^2(x)=(1+cos(2x))/2，得到：∫(1/8)(1+2cos(2x)+(1+cos(4x))/2)dx + c化简得到：(1/8)(x+(1/4)sin(2x)+(1/8)sin(4x)) + c因此，∫(1/4)cos^4(x)dx = (1/8)(x+(1/4)sin(2x)+(1/8)sin(4x)) + c

答：这是一个简单的积分题，根据幂函数积分的公式，我们可以得出以下解答：∫(1/3)sin^3(x)dx - (1/5)sin^5(x)dx + c我们可以使用三角恒等式将sin^3(x)表示为sin(x)(1-cos^2(x))，得到以下式子：∫(1/3)sin(x)(1-cos^2(x))dx - (1/5)sin^5(x)dx + c将其中的(1-cos^2(x))展开得到：∫(1/3)sin(x)dx - (1/3)sin(x)cos^2(x)dx - (1/5)sin^5(x)dx + c化简得到：(-1/15)cos^3(x)+(1/3)cos(x)-(1/3)sin(x)cos(x) + c因此，∫(1/3)sin^3(x)dx - (1/5)sin^5(x)dx = (-1/15)cos^3(x)+(1/3)cos(x)-(1/3)sin(x)cos(x) + c

答：根据三角函数的平方和差公式，我们可以得出以下解答：∫(2cos^2(x))^-1dx + c将2cos^2(x)表示为cos(2x)+1，得到以下式子：∫(cos(2x)+1)^-1dx + c我们可以使用换元法，令u=cos(2x)+1，那么du/dx=-2sin(2x)，dx=-1/2sin(u-1)du。将上述两式带入原式，得到：∫(cos(2x)+1)^-1dx = -1/2∫(u)^-1sin(u-1)du我们可以使用分部积分法，令u=(u)^-1，dv=sin(u-1)du，那么du=-u^2dx，v=-cos(u-1)。将上述四式带入原式，得到：-1/2∫(u)^-1sin(u-1)du = -1/2(u)^-1cos(u-1) + 1/2∫(u)^-2cos(u-1)du我们可以再次使用分部积分法，令u=(u)^-2，dv=cos(u-1)du，那么du=-2(u)^-3dx，v=sin(u-1)。将上述四式带入原式，得到：1/2(u)^-1sin(u-1)-1/4(u)^-2cos(u-1) + c将u=cos(2x

答：，根据幂函数积分的公式，我们可以得出以下解答：∫(1/5)tan^5(x)dx + (3/2)tan^3(x)dx + tan(x)dx + c我们可以使用代换法，令u=tan(x)，那么du/dx=sec^2(x)，dx=du/(sec^2(x))，将其带入原式得到：∫(1/5)u^5(sec^2(x))^-1du + (3/2)u^3(sec^2(x))^-1du + u(sec^2(x))^-1du + c化简得到：∫(1/5)u^3du + (3/2)u(sec^2(x))^-1du + u(sec^2(x))^-1du + c∫(1/5)u^3du + (5/2)u(sec^2(x))^-1du + c将u=tan(x)带回原式，得到：∫(1/5)tan^5(x)dx + (5/2)tan(x)dx + c因此，∫(1/5)tan^5(x)dx + (3/2)tan^3(x)dx + tan(x)dx = (1/5)(tan^4(x)/4) + (5/4)tan^2(x) + (1/2)ln|sec(x)| + c。

答：根据幂函数积分的公式，我们可以得出以下解答：∫(7/1)sec^7(x)dx - (5/2)sec^5(x)dx + (3/1)sec^3(x)dx + c我们可以使用代换法，令u=sec(x)，那么du/dx=sec(x)tan(x)，dx=du/(u tan(x))，将其带入原式得到：∫(7/1)u^7(u tan(x))^-1du - (5/2)u^5(u tan(x))^-1du + (3/1)u^3(u tan(x))^-1du + c化简得到：∫(7/1)u^6du - (5/2)u^4du + (3/1)u^2du + c将u=sec(x)带回原式，得到：∫(7/1)sec^6(x)dx - (5/2)sec^4(x)dx + (3/1)sec^2(x)dx + c因此，∫(7/1)sec^7(x)dx - (5/2)sec^5(x)dx + (3/1)sec^3(x)dx = (7/6)sec^6(x) - (5/8)sec^4(x) + (1/2)tan^2(x) + c。

答：要求∫|ln(1+e^x)|dx，我们可以将其拆分成两个区间：当x<0时，1+e^x<1，ln(1+e^x)<0，所以|ln(1+e^x)|=-ln(1+e^x)，当x≥0时，1+e^x≥1，ln(1+e^x)≥0，所以|ln(1+e^x)|=ln(1+e^x)。因此，我们可以将原式分成两个积分：∫|ln(1+e^x)|dx = ∫-ln(1+e^x)dx (x<0) + ∫ln(1+e^x)dx (x≥0)对于第一个积分，我们可以使用代换法，令u=1+e^x，那么du/dx=e^x，dx=du/e^x，将其带入原式得到：∫-ln(1+e^x)dx = ∫-ln(u)du/e^x化简得到：∫-ln(u)du/e^x = -∫ln(u)du + ∫ln(e^x)du将u=1+e^x带回原式，得到：∫-ln(1+e^x)dx = -(1+e^x)ln(1+e^x) + e^x + c1 (x<0)对于第二个积分，我们可以直接使用积分公式∫ln(1+u)du=u ln(1+u) - u + c，将u=e^x带入得到：∫ln(1+e^x)dx =

答：我们可以使用分部积分法。设u=ln(1+e^x)，dv=e^xdx，则du/dx=1/(1+e^x)和v=e^x。根据分部积分公式，我们有：∫e^x-ln(1+e^x)dx = e^xln(1+e^x) - ∫e^x/(1+e^x)dx对于第二个积分，我们可以使用代换法，令u=1+e^x，那么du/dx=e^x，dx=du/e^x，将其带入原式得到：∫e^x/(1+e^x)dx = ∫du/u化简得到：∫du/u = ln|u| + C将u=1+e^x带回原式，得到：∫e^x/(1+e^x)dx = ln|1+e^x| + C因此，原式的解为：∫e^x-ln(1+e^x)dx = {e^xln(1+e^x) - ln|1+e^x| + C} + C'其中C、C'为常数。

答：可以了吧

答：令u=e^x，那么du/dx=e^x，dx=du/u，将其带入原式得到：∫arctan(e^x)dx = ∫arctan(u)du/u对于这个积分，我们可以使用分部积分法。设u=arctan(u)，dv=du/u，那么du/dx=1/(1+u^2)，v=ln|u|。根据分部积分公式，我们有：∫arctan(u)du/u = arctan(u)ln|u| - ∫ln|u|/(1+u^2)du对于第二个积分，我们可以使用部分分式分解法。将ln|u|/(1+u^2)分解为(Au+B)/(1+u^2)+C/(u^2+1)，其中A、B、C为待定系数。对分式进行通分，得到：ln|u|/(1+u^2) = (Au^2+Bu^2+C)/(u^4+2u^2+1)由于分子分母次数相同，我们可以令u=tanθ，那么：u^2=tan^2θ，u^4=tan^4θ+2tan^2θ+1=(tan^2θ+1)^2，du/dθ=sec^2θ。将u=tanθ带入分式，得到：ln|u|/(1+u^2) = A(tan^2θ+1)+B/(tan^4θ+2tan^2θ+1)

答：我们可以分别对两个项进行积分。对于第一项，由于它只是一个简单的多项式函数，直接积分即可：∫(1/2)x dx = (1/4)x^2 + C1对于第二项，我们可以使用分部积分法。设u = x，dv = -sin(2x)/4 dx，那么 du/dx = 1，v = (1/2)cos(2x)。根据分部积分公式，我们有：∫-xsin(2x)/4 dx = -x(1/2)cos(2x) + ∫(1/2)cos(2x) dx= -(1/2)xcos(2x) + (1/4)sin(2x) + C2将两个积分的结果相加，得到：∫(1/2)x - (1/4)x sin(2x) dx = (1/4)x^2 - (1/2)xcos(2x) + (1/4)sin(2x) + C其中，C = C1 + C2 是一个常数

答：我们可以将它写成一个sin(x)的多项式函数的形式，然后再进行积分。使用三角恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，将sin^3(x)展开为sin^2(x)×sin(x)，再用sin^2(x) = 1 - cos^2(x)将它转化为cos^2(x)×sin(x)，于是有：sin(x) - (1/3)sin^3(x) = sin(x) - (1/3)[(1-cos^2(x))sin(x)]= sin(x) - (1/3)sin(x) + (1/3)cos^2(x)sin(x)= (2/3)sin(x) + (1/3)cos^2(x)sin(x)= sin(x)(2/3 + (1/3)cos^2(x))因此，我们可以将原式写成∫sin(x) - (1/3)sin^3(x) dx = ∫sin(x)(2/3 + (1/3)cos^2(x)) dx

答：对于右边这个积分，我们可以使用代换法。设u = cos(x)，那么du/dx = -sin(x)，dx = -du/sin(x)。将x用u表示，并将sin(x)用cos(x)表示，得到：∫sin(x)(2/3 + (1/3)cos^2(x)) dx = ∫(2/3)sin(x)cos(x)^2 dx= -(2/3)∫u^2 du= -(2/9)cos^3(x) + C因此，∫sin(x) - (1/3)sin^3(x) dx = -(2/9)cos^3(x) + C其中，C是一个任意常数。