21.已知函数 f(x)=ax-sinx/(cosx)^3, (0<x<兀/2) (1)讨论函数f(x) 的单调性;
(2)若f(x)<sin2x, 求a的取值范围.

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houseplayboy08

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(1) 求导数：f’(x) = a - (3sinx(cosx)^2 - 2sinx(cosx)^2)/ (cosx)^6 = a - sinx(cosx)^2/(cosx)^6 = a - tanx/cosx^4将 a - tanx/cosx^4 等于 0，得到：a = tanx / cosx^4对 f(x) 分段讨论：当 0 < x π/4 时，cosx > 0，tanx > 0，所以 f’(x) > 0，所以函数 f(x) 在 (0, π/4) 上单调递增。当 π/4 < x π/2 时，cosx > 0，tanx < 0，所以 f’(x) < 0，所以函数 f(x) 在 (π/4, π/2) 上单调递减。因此，函数 f(x) 在定义域 (0, π/2) 上单调性为先递增后递减。(2) 因为 f(x) < sin2x，所以有：ax - sinx / (cosx)^3 < 2sinx cosxax < 3sinx cosx / (cosx)^3 + sinx / (cosx)^3ax < 3tanx + tanx^3如果该不等式对于任何 0 < x < π/2 的 x 均成立，则需要满足：a < 3 + largenum其中，largenum 是可以任取一个大的正数（因为 tanx^3 在 0 < x < π/2 的区间上的最大值是一个趋于正无穷的数，可以任取一个大的正数来代替）。综上， a < 3。因此，a的取值范围为 a < 3。