Question

4.设n维行向量 =(1,1,,1) ,n阶矩阵 A=E-a^Ta .1)求矩阵A的特征值和特征向量:(

Answer 1

问：4.设n维行向量 =(1,1,,1) ,n阶矩阵 A=E-a^Ta .1)求矩阵A的特征值和特征向量:(

答：要求矩阵A的特征值和特征向量， 首先需要计算矩阵A。根据题目给出的信息，n维行向量u=(1,1,...,1)。其中a表示u的转置，即a=(1,1,...,1)。 矩阵A=E-a^Ta=E-(1,1,...,1)^T(1,1,...,1) 根据矩阵的减法规则，可以得到A的表达式：A=E-n^2 接下来求A的特征值和特征向量。根据特征值和特征向量的定义，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个常数，则v为A的特征向量，λ为A的特征值。 代入A=E-n^2，得到：(E-n^2)v=λv 整理可得：(E-λI)v=n^2v其中I为n阶单位矩阵。 从上面的等式可以看出，特征值λ是n^2，特征向量v是任意的非零向量。 因此，矩阵A的特征值是n^2，特征向量是任意的非零向量。