Question

矩阵的特征值与特征向量:1-1 1;(2)13-1;（3）111

Answer 1

问：矩阵的特征值与特征向量:1-1 1;(2)13-1;（3）111

答：# 矩阵的特征值与特征向量 1. 1-1 1; 2. 13-1; 3. 111 对于矩阵A，若存在一个非零向量X，使得AX=kX，其中k为常数，则称k为矩阵A的特征值，而X称为矩阵A对应于特征值k的特征向量。 对于矩阵 (1 -1; 1 1)，我们要求它的特征值和特征向量。 设矩阵A的特征值为λ，特征向量为X，根据定义有：AX = λX 即(1 -1; 1 1)·(x1;x2) = λ(x1;x2) 将其化简得x1 - x2 = λx1x1 + x2 = λx2 可以转化为x1(1-λ) + x2(-1) = 0x1(1) + x2(1-λ) = 0 若x1和x2都不为0，上式可以转化为(1-λ)(x1/x2) = 11 + (λ-2)(x1/x2) = 0 解得 x1/x2 = (λ-2)，代入上式可得λ^2 - 2λ - 2 = 0 解得λ1 = 1 + √3λ2 = 1 - √3 分别代入原方程得到特征向量X1 = (1+√3,1)特征向量X2 = (1-√3,1) 所以，矩阵 (1 -1; 1 1) 的特征值分别是 1 + √3 和 1 - √3，对应的特征向量分别是 (1+√3,1) 和 (1-√3,1)。 对于矩阵 (2 1 3; 1 3 1; 1 1 1)，同理可以求得其特征值和特征向量：λ1 = 4，特征向量X1 = (1,1,1)λ2 = 2，特征向量X2 = (-1,1,0)λ3 = 0，特征向量X3 = (1,-2,1) 对于矩阵 (1 1 1)，它是一个三阶矩阵，只有一个特征值 3，对应的特征向量可以取为任意一个非零向量。