Question

已知圆锥的底面圆半径为r圆锥内部放有半径为1的球,球与圆锥的侧面和底面都相切,若√5/2≤r≤√6, 则圆锥体积的取值范围是

Answer 1

问：已知圆锥的底面圆半径为r圆锥内部放有半径为1的球,球与圆锥的侧面和底面都相切,若√5/2≤r≤√6, 则圆锥体积的取值范围是

答：设圆锥高为h，则球的切点在圆锥底面的圆心处往上h高度时与圆锥的侧面相切。因为球半径为1，所以这个高度也是底面圆的半径加1，即h=r+1。根据勾股定理，球的切点到圆锥顶点的距离为√(r^2+1)。因此，圆锥高可以表示为h=√(r^2+1)+1。圆锥体积的公式为V=1/3πr^2h，代入h的值得到V=1/3πr^2(√(r^2+1)+1)。要求圆锥体积的取值范围，可以看作是要求函数V的值域。因为√5/2≤r≤√6，所以可以将r限制在[√5/2,√6]的闭区间内，来求出函数在这个区间的最大值和最小值。先求V的导数：V'=2/3πr(√(r^2+1)+1)。令V'=0，得到临界点r=0和r=√2/2。然而，r=0不在定义域内，所以只需要考虑r=√2/2的情况。此时，V=1/3π(√2/2)^2(√((√2/2)^2+1)+1)=1/6(√2+1)π。而且，当r达到区间的两个端点√5/2和√6时，V也分别达到了最小值和最大值。根据上面的公式，V在r=√5/2时取到最小值，为1/3π(√5/2)^2(√((√5/2)^2+1)+1)=5/6(√5+1)π；V在r=√6时取到最大值，为1/3π(√6)^2(√((√6)^2+1)+1)=2(√6+1)π。因此，圆锥体积的取值范围是[1/6(√2+1)π, 2(√6+1)π]。