Question

证明若向量组有不止一个极大线性无关组是，不同线性无关组中的向量个数一样多

Answer 1

问：证明若向量组有不止一个极大线性无关组是，不同线性无关组中的向量个数一样多

答：假设向量组 $V$ 有两个不同的极大线性无关组 $B_1$ 和 $B_2$，且 $B_1$ 和 $B_2$ 中的向量个数不相同，不妨设 $B_1$ 中的向量个数比 $B_2$ 中的向量个数多。设 $B_1 = {v_1, v_2, \dots, v_m}$，$B_2 = {w_1, w_2, \dots, w_n}$，其中 $m>n$。由于 $B_1$ 是极大线性无关组，所以 $v_1$ 可以表示成 $B_2$ 中的向量的线性组合，即存在 $a_{1,1}, a_{1,2}, \dots, a_{1,n}$，使得

答：v1=a1,1w1+a1,2w2+⋯+a1,nwn

答：由于 $B_1$ 中的向量线性无关，所以至少存在一个系数 $a_{1,i}$ 不为 $0$，不妨设 $a_{1,1}\neq 0$。将上式移项，得到

答：a 1,1​ w 1​ =v 1​ −a 1,2​ w 2​ −⋯−a 1,n​ w n

答：注意到左边是 $B_2$ 中的向量，右边是 $B_1\cup B_2$ 中的向量，所以左边也可以表示成 $B_1\cup B_2$ 中的向量的线性组合。具体来说，由于 $B_1$ 是极大线性无关组，所以左边必然可以表示成 $B_1$ 中的向量的线性组合，即存在 $b_{1,1}, b_{1,2}, \dots, b_{1,m}$

答：由于 $B_1$ 是极大线性无关组，所以上式左边必然是 $B_1$ 中的向量，而右边必然是 $B_1\cup B_2$ 中的向量，这与 $B_1$ 是极大线性无关组矛盾。因此，假设不成立，即向量组 $V$ 不存在不止一个极大线性无关组，不同线性无关组中的向量个数一定是一样多的。