Question

实心球体的转动惯量推导

Answer 1

实心球体的转动惯量是描述其旋转惯性的重要物理量，它用于度量刚体绕其中任意一轴旋转时所需要的作用力。现在，我们将对实心球体的转动惯量进行推导和解释。
首先，根据转动惯量的定义，实心球体的转动惯量可以被视为由其质量分布引起的所有质点的旋转惯量的总和。球体的所有质量都分布在半径相等的球壳上。因此，我们可以将球体分解成无数个无限小的质量元，并将其视为质量连续分布的球壳。考虑球壳上的任意一个质量元，它的质量为dM，距离球心的距离为r。由于此质量元距离轴的距离为r，其围绕轴的惯量为$dI_{shell} = r^2 dM$。
而整个球体围绕该轴的转动惯量等于球壳上的所有质量元的惯量之和，即：
$I=\int_{0}^{R}dI_{shell}=\int_{0}^{R}r^2 dM$
其中，R是球体的半径。
我们可以用一个三重积分来表示$dM$。球壳的密度分布在球面上，其表面积元素$dS$可以表示为$dS=4\pi r^2sin\theta d\theta d\phi$。因此，球面上的每个密度元素可以表示为：
$dM=\rho dS=\rho\times4\pi r^2sin\theta d\theta d\phi$
把$dM$代入积分式中，可以得到：
$I = \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}(r^2\rho)(r^2sin^3\theta) d\theta d\phi dr$
解出积分后，可以得到实心球体的转动惯量公式：
$I = \frac{2}{5}MR^2$
其中，M是球体的质量，R是球体的半径。这个推导表明实心球体的转动惯量只与其质量和半径相关，与其密度分布无关。
综上所述，实心球体的转动惯量是由质量分布在球壳上的所有质量元的惯量之和而获得的，其公式为$I = \frac{2}{5}MR^2$，其中M是球体的质量，R是球体的半径。