Question

3.求过点+(2,0,-3)+且平行于向量+a(1,-2,4)+和+b(3,5,-2),+求这个平面方程

Answer 1

问：3.求过点+(2,0,-3)+且平行于向量+a(1,-2,4)+和+b(3,5,-2),+求这个平面方程

答：亲亲，非常荣幸为您解答由于平面平行于向量+a(1,-2,4)+和+b(3,5,-2)，所以平面的法向量为这两个向量的叉积，即n = (1,-2,4) × (3,5,-2) = (-18,14,13)将点+(2,0,-3)代入平面方程，得到-18(x-2) + 14y - 13(z+3) = 0化简得到平面方程为-18x + 14y - 13z + 64 = 0

答：相关拓展：：如果要求过点+(2,0,-3)且垂直于向量+a(1,-2,4)+和+b(3,5,-2)的平面方程，可以先求出这两个向量的法向量，然后再将这个法向量作为平面的法向量，代入点+(2,0,-3)得到平面方程。具体步骤如下：1. 求出向量+a(1,-2,4)+和向量+b(3,5,-2)的法向量：n = (1,-2,4) × (3,5,-2) = (-18,14,13)2. 将法向量n作为平面的法向量，代入点+(2,0,-3)得到平面方程：-18(x-2) + 14y - 13(z+3) = 0化简得到平面方程为：-18x + 14y - 13z + 64 = 0这个平面与原问题中的平面不同，因为它是垂直于向量+a(1,-2,4)+和向量+b(3,5,-2)的平面。

问：已知A8=（,1,3),46=(2,1,8),求^4BC 的面积

答：亲亲您的问题对吗

答：您在核实一下

问：已知 →(AB)=(1,1,3), 3),→(AC)=(2,1,8) 求△ABC 面积,

答：好的

答：首先求出向量AB和AC的叉积：→AB x →AC= (1,1,3) x (2,1,8) = (5,-2,-1)其长度为：|→AB x →AC| =√(5²+(-2)²+(-1)²) =√30因此，△ABC的面积为：S= 1/2 |→AB x →AC| = 1/2 × √30 = √30/2 或约为 2.74。

问：能拓展一下吗

答：首先，我们可以通过向量叉积求得△ABC的面积。$$\triangle ABC = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$将向量的坐标代入公式中，有：$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\1 & 1 & 3 \\2 & 1 & 8 \\\end{vmatrix} = -\hat{i} - 22\hat{j} + 1\hat{k}$$因此，$$\triangle ABC = \frac{1}{2} |-1-22+3| = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$所以△ABC的面积为$\frac{10\sqrt{3}}{3}$。拓展：向量的叉积还可以用于求解平行四边形的面积，以及三角形的高和垂线长度等。向量的叉积公式中，得到的结果是一个新向量，其模长等于原两个向量所围成平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，指向右手定则的方

答：向